- 三角函数与三角恒等变换
- 共3475题
如图1,在边长为的正三角形
中,
,
,
分别为
,
,
上的点,且满足
.将△
沿
折起到△
的位置,使二面角
成直二面角,连结
,
.(如图2)
图1 图2
(1)求证:⊥平面
;
(2)求直线与平面
所成角的大小。
正确答案
见解析
解析
(1)证明:取中点
,连结
.
因为,
,
所以,而
,即△
是正三角形。
又因为, 所以
.
所以在图2中有,
.
所以为二面角
的平面角.
又二面角为直二面角,
所以.
又因为,
所以⊥平面
,即
⊥平面
.
(2)解:由(1)可知⊥平面
,
,如图,以
为原点,建立空间直角坐标系
,
则,
,
,
.
在图1中,连结.
因为,
所以∥
,且
.
所以四边形为平行四边形。
所以∥
,且
.
故点的坐标为(1,
,0).
所以,
,
.
不妨设平面的法向量
,则
即令
,得
.
所以.
故直线与平面
所成角的大小为
.
知识点
已知,函数
(1)求的最小正周期;
(2)当时,求函数
的值域。
正确答案
(1)(2)
解析
(1) ……1
= ……4
=
= ……6
∴ ……7
(2) ∵
∴ ……9
当,即
时,
;
当,即
时,
;
∴当时,
的值域为
知识点
已知函数。
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)设,求f(x)的值域和单调递增区间。
正确答案
见解析。
解析
知识点
在中,如果
,
,
,则
的面积为 。
正确答案
解析
略
知识点
已知函数
(1)求函数的最小正周期和单调递增区间;
(2)求函数在
上的值域。
正确答案
(1)最小正周期T=;单调增区间
(2)
解析
(1),……………………………3分
最小正周期T=
, ……………………………………………4分
单调增区间, ………………………………………7分
(2),
, ……………………………………………………10分
在
上的值域是
. ………………………………………………………13分
知识点
已知函数(其中
),直线
、
是
图象的任意两条对称轴,且
的最小值为
。
(1)求的值;
(2)若,求
的值。
正确答案
见解析。
解析
(1),
,
,
所以,
(2),
由得
,
(或设
,
则,
,
从而)
,
知识点
在△中,
所对的边分别为
,且
.
(1)求函数的最大值;
(2)若,求b的值。
正确答案
(1)
(2)3
解析
(1)因为
.
因为为三角形的内角,所以
,
所以.
所以当,即
时,
取得最大值,且最大值为
. ………6分
(2)由题意知,所以
。
又因为,所以
,所以
。
又因为,所以
。
由正弦定理得,
, …………13分
知识点
已知函数。
(1)求的值;
(2)若对于任意的,都有
,求实数
的取值范围。
正确答案
(1)
(2)
解析
(1)解:,
(2)解:
,
因为 ,所以
,
所以当 ,即
时,
取得最大值
,
所以 ,
等价于
。
故当 ,
时,
的取值范围是
,
知识点
已知 ,
(1)求的最小正周期和单调递减区间;
(2)若,求
的最大值及取得最大值时对应的
的取值。
正确答案
(1)(2)
解析
(1)因为
………2分
………4分
所以,,即函数
的最小正周期为
………5分
,
所以的单调递减区间为
………7分
(2)因为,得
,
所以有 ………8分
由,即
………10分
所以,函数的最大值为1. ………12分
此时,因为,所以,
,即
. ………14分
知识点
函数y=sinx+sin(x﹣) 的最小正周期为 ,最大值是 。
正确答案
2π;。
解析
解:因为函数y=sinx+sin(x﹣)=sinx+
sinx﹣
cosx=
sin(x﹣
)。
所以函数的周期为T==2π
函数的最大值为:
知识点
在中,角
,
,
所对的边长分别为
,
,
,向量
,
,且
。
(1)求角;
(2)若,求
的面积的最大值。
正确答案
(1)(2)
解析
解析:(1),
,
,
,……………………5分
又,
,
,
………………7分
(2),
,
,即
…9分
,即
,当且仅当
时等号成立,…12分
,当
时,
,…………14分
知识点
在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若向量
(1)求角A的大小;
(2)若的面积
,求
的值.
正确答案
见解析。
解析
(1)∵,
∴, ………………2分
即,∴
, …………………………4分
∴。
又,∴
, …………………………6分
(2),
∴, …………………………8分
又由余弦定理得, ………………10分
∴,
, …………………………12分
知识点
已知函数(
)
(1)求函数的单调递增区间;
(2)若,求
的取值范围。
正确答案
(1)(
)
(2)
解析
(1)由题设, (2分)
由,解得
,
故函数的单调递增区间为
(
)。 (6分)
(2)由,可得
。 (7分)
考察函数,易知
, (10分)
于是。
故的取值范围为
。 (12分)
知识点
已知锐角中,三个内角为
,向量
,
,
‖
,求
的大小。
正确答案
见解析
解析
,
又‖
------------------4分
-------------------6分
又
为锐角,则
-
-------------------10分
知识点
若sin2x、sinx分别是sinθ与cosθ的等差中项和等比中项,则cos2x的值为
正确答案
解析
依题意有, ①
②
由①2-②×2得,,解得
。
又由,得
,所以
不合题意。故选A
知识点
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