三角函数与三角恒等变换_章节学习

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

6.△ABC的三个内角以弧度度量,设M=Acos B+sin Acos C,则(　　).

AM>0

B当B≤时,M>0;当B>时,M<0

C当C≤时,M>0;当C>时,M<0

D以上结论都不正确

正确答案

A

解析

（1）△ABC为锐角三角形时,M>0.

（2）△ABC为直角三角形时,M>0.

（3）△ABC为钝角三角形时,①若A>,则M>0;

②若B>,则M=Acos B+sin Acos C=A(-cos Acos C+sin Asin C)+sin Acos C=cos Acos C(tan A-A)+Asin Asin C>0;

③若C>,则M=Acos B-sin Acos(A+B)=cos B(A-sin Acos A)+sin2Asin B,

由于A>sin A,因此M>0.

由(1)、(2)、(3)知答案为A.

知识点

正弦函数的定义域和值域三角函数中的恒等变换应用

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

20.把函数的图像向右平移 a()个单位，得到的函数的图像关于直线对称.

（1）求a的最小值；

（2）当a取最小值，求函数在区间上的值域

正确答案

（1）

∴，它关于直线对称，

∴ ∴ ∵

（2）由（1）知

即的值域为

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

正弦函数的定义域和值域正弦函数的对称性函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换三角函数中的恒等变换应用

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

17.已知向量，，定义

（1）求出的解析式．当时，它可以表示一个振动量，请指出其振幅，相位及初相．

（2）的图像可由的图像怎样变化得到？

（3）设时的反函数为，求的值．

正确答案

（1）

其振幅为，相位为，初相为

（2）可由图象横坐标不变，纵坐标伸长到原来的倍，再把曲线上所有的点向左平移个单位，即可得的图象．

（3）由得

∵ ∴ ∴ ∴

∴

解析

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知识点

反函数函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义三角函数中的恒等变换应用平面向量数量积的运算

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

4.函数的最大值和最小值分别为(　　).

A2和

B2和

C和

D2和

正确答案

B

解析

已知f(x)=sin x+cos x+|sin x-cos x|,

当sin x≥cos x,

即时,

f(x)=2sin x,

此时,f(x)的取值范围为

当sin x<cos x,

即

f(x)=2cos x,

此时,f(x)的取值范围为

所以函数f(x)=sin x+cos x+|sin x-cos x|的最大值与最小值分别为2和

知识点

三角函数中的恒等变换应用三角函数的最值

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

11.

正确答案

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

三角函数的周期性及其求法三角函数中的恒等变换应用分组转化法求和数列与三角函数的综合

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

9．已知，则=___________

正确答案

解析

-(cos2x-sin2x)=-2cos(2x+π)=2cos［π-(2x+π)］=2cos(-2x)=2cos(2x-),=

考查方向

本题主要考查了辅助角公式。

解题思路

本题考查运用辅助角公式求辅助角，解题步骤如下：

先用辅助角公式得-2cos(2x+π)，再用诱导公式得 2cos(-2x)=2cos(2x-),=

易错点

本题必须注意，忽视则会出现错误。

知识点

三角函数中的恒等变换应用

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

6．要得到y=sin2x- sin2x-cos2x的图象，只需将y=2sin2x的图象（）

A向左平移个单位

B向左平移个单位

C向右平移个单位

D向右平移个单位

正确答案

C

解析

本题属于三角函数中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难。注意化简时对φ的选取。

考查方向

本题主要考查了三角函数的图象与性质,在近几年的各省高考题出现的频率非常高，常与三角恒等变形公式，函数单调性、周期性、对称型、奇偶性等知识点交汇命题。

解题思路

无

易错点

本题易在公式化简上发生错误。

知识点

函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换三角函数中的恒等变换应用

1

题型：填空题

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填空题 · 4 分

4．函数的最小值为___________．

正确答案

解析

∵

而∴

∴

考查方向

本题主要考查三角化简，是容易题．

解题思路

先逆用二倍角公式，然后用辅助角公式，最后利用三角函数的有界性求得函数的最小值．

易错点

三角公式很多，容易混淆公式的使用；逆用公式易出错．

知识点

三角函数中的恒等变换应用三角函数的最值

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

17．的内角所对的边分别为，已知．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，求的取值范围．

正确答案

（Ⅰ）

（Ⅱ）

解析

试题分析：本题属于解三角形中的基本问题，难度不大。此类问题主要应用正（余）弦定理进行恒等变换；注意边和角的统一。

（Ⅰ）在中，，

所以．

因为，

所以，即，

解得．

因为，所以．

（Ⅱ）由正弦定理，，

所以

．

因为，所以，

所以，即的取值范围为．

考查方向

本题主要考查正（余）弦定理、和（差）角公式和三角函数的恒等变换等知识。考查运算求解能力，难度不大。

解题思路

本题主要考查正（余）弦定理、和（差）角公式和三角函数的恒等变换等知识，

解题步骤如下：

利用降幂公式和三角变换化成关于cosC的一元二次方程；

利用正弦定理把边化成角，从而求出得出答案。

易错点

第一问中降幂公式往往会出错；

第二问中角A的范围和也易出错。

知识点

三角函数中的恒等变换应用正弦定理余弦定理

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

4.函数的图像的一个对称中心为（）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

,令，得，当时，得到其一个对称中心为，故选C。

考查方向

本题主要考查三角函数的化简，三角函数图象的性质等知识，意在考查考生对于三角函数的掌握程度。

解题思路

1.先将变形为一个角的一个三角函数的形式；

2.利用对称中心的坐标公式求出对称中心。

易错点

1.误认为对称中心的纵坐标为0，导致误选B；

2.不将化简直接带到公式中求解。

知识点

余弦函数的对称性三角函数中的恒等变换应用

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

15.函数在区间上的小值是

正确答案

解析

，再根据求出的取值范围，由二次函数的性质求最小值。

考查方向

本题的考点是求三角函数的最值，考察用配方法求复合三角函数在闭区间上的最值，本题是三角函数求值里常见的一种题型，其特点是借助二次函数的图像求最值.

解题思路

本题属于简单题，

（1）利用同角三角函数的关系化成同一三角函数并配方

（2）利用二次函数的图像求最值

易错点

利用二次函数的图像求最值

知识点

三角函数中的恒等变换应用三角函数的最值

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

9.在平面直角坐标系中，已知点A,B分别为x轴，y轴上一点，且，若点，则的取值范围是（）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

考查方向

本题主要考察了向量的几何意义，主要考察了向量的平行四边形法则，向量的坐标表示及其代数运算，考察了利用三角函数求最值问题，平面向量问题在高考中是常见题型，向量和很多知识都是联系，所以思路多，但是不好构建易出错。

解题思路

使用向量的几何意义，

易错点

本题易错于几何意义的转换，或者在使用坐标化的过程中A，B两点的形成过程，代数法构建过程繁琐，学生易计算出错，

知识点

三角函数中的恒等变换应用向量的加法及其几何意义

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

17．中，

(1)求的值；

(2)若的面积，求的长。

正确答案

（1）；

（2）

解析

本题属于三角恒等变形和解三角形的基本问题

（1）直接按照步骤来求

（2）要注意观察，然后合理地选择公式来解题。

(1) ，

，，

，

．

(2)，

，

考查方向

本题考查了三角函数的基本公式即：诱导公式、同角关系式、两角和差公式和二倍角公式在化简中的应用，内角和定理、正余弦定理在解三角形的应用；

易错点

1、对的化简方向的选择

2、根据条件合理选择定理来解三角形。

知识点

三角函数中的恒等变换应用余弦定理

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

6．为了得到函数的图象，可以将函数y=sin4x的图象（　　）

A向右平移个单位

B向左平移个单位

C向右平移个单位样

D向左平移个单位

正确答案

A

解析

函数y=sin4x﹣cos4x=sin（4x﹣），

∵sin（4x﹣）=sin[4（x﹣）]，

∴为了得到函数y=sin4x﹣cos4x的图象，可以将函数y=sin4x的图象向右平移个单位．

故选：A．

考查方向

本题主要考查了形如“”三角函数性质，三角函数图象变换以及辅助角公式的应用研究，在近几年的各省高考题出现的频率较高，常以三角公式与三角函数等知识交汇命题，较易。

解题思路

1、先根据题意化原函数为。2、由图象再进行平移变换。

易错点

1、本题在化简成“”型时易出错。2、本题在图象平移变换上容易出错。

知识点

函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换三角函数中的恒等变换应用

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

15．已知函数

（Ⅰ）求函数的最小正周期；

（Ⅱ）求函数在区间上的最大值与最小值的和

正确答案

（Ⅰ）

（Ⅱ）0

解析

（Ⅰ）因为

所以函数的最小正周期．

（Ⅱ）因为，所以，所以．

当时，函数取得最小值;

当时，函数取得最大值,

因为,

所以函数在区间上的最大值与最小值的和为

考查方向

本题主要考察了三角函数的图象与性质，属于中档题，是高考的热点，解决此类题的关键：一是会化简，熟悉三角恒等变形公式；二是会用性质，熟悉单调性、周期性、对称性、和最值问题。

易错点

1、本题易在化简的过程汇总发生错误，导致最小正周期算错。

2、单调性分析不全面，导致题目无法进行。

知识点

三角函数的周期性及其求法三角函数中的恒等变换应用三角函数的最值

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