三角函数与三角恒等变换_章节学习

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

8．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)的最小正周期为π，且它的图象过点(－，－ )，则φ的值为．

正确答案

－

解析

由题意可知：函数f(x) 的最小正周期为π，

∵它的图象过点(－，－)，

∴

∵|φ|＜

Φ=－

考查方向

本题主要考查了三角函数图象和性质，的部分图象求解析式

解题思路

根据最小正周期为π，利用周期公式即可求出ω的值，利用图象经过点(－，－)，结合其范围即可求出φ的值．

易错点

把点的坐标代入到解析式求φ，一定要注意结合其范围求解

知识点

三角函数的周期性及其求法三角函数中的恒等变换应用

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

9.函数的图象中相邻的两条对称轴间距离为（）．

A

B

C

D

正确答案

C

解析

，周期，相邻的两条对称轴间距离为，所以距离为，故选C．[来源:Zxxk.Com]

考查方向

本题主要考查三角函数的化简和三角函数的图像和性质等知识，意在考查考生的运算求解能力。

解题思路

1.先将函数化为一个角的一个三角函数的形式；

2.求出其周期，然后相邻两条对称轴之间的距离为半个周期即得到答案。

易错点

1.不会将函数化简为一个角的一个三角函数的形式；

2.不知道周期和题中所求之间的关系。

知识点

三角函数中的恒等变换应用

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

13.若，则．

正确答案

解析

，则．

考查方向

本题主要考查诱导公式和二倍角公式等知识，意在考查考生的运算求解能力和转化与化归的能力。

解题思路

1.先根据诱导公式求出；2.利用二倍角公式求出的值。

易错点

1.利用诱导公式化简时不变名；

2.二倍角的公式用错。

知识点

三角函数中的恒等变换应用二倍角的余弦

1

题型：简答题

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简答题 · 6 分

11. 已知函数，则函数的最小值为 ▲ ，函数的递增区间为 ▲ .

正确答案

，

解析

，所以最小值为-2，函数的单调增区间应满足不等式

考查方向

考查三角函数的综合性质，具体涉及到三角函数的单调区间及最

解题思路

先用二倍角转化，然后再用辅助角公式，做成正弦型函数，从而求得函数的最小值，直接代入原函数的单调区间，求出原函数的单调增区间

易错点

本题意在三角恒等变换中出错，对函数图像的应用不熟

知识点

三角函数中的恒等变换应用

1

题型：简答题

|

简答题 · 12 分

在△中，角分别是边的对角，且．

17.若，求的值；

18.若，求的值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

；

解析

试题分析：本题属于正余弦定理的综合应用问题，属于简单题，只要掌握相关的知识，即可解决本题，解析如下：

因为，由正弦定理有.又，所以.

因为，所以.从而；

因此.

考查方向

本题考查了正余弦定理的综合应用等知识点。

解题思路

直接利用正弦定理及边角关系进行计算；

易错点

正确答案

．

解析

试题分析：本题属于正余弦定理的综合应用问题，属于简单题，只要掌握相关的知识，即可解决本题，解析如下：

设，，则.所以.

考查方向

本题考查了正余弦定理的综合应用等知识点。

解题思路

设，，则，让背后直接利用余弦定理进行计算．

易错点

正确答案

C

解析

由已知，

＝，选C.

考查方向

两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换.

解题思路

三角恒等变换的主要题目类型是求值，在求值时只要根据求解目标的需要，结合已知条件选用合适的公式计算即可．本例应用两角和与差的正弦（余弦）公式化解所求式子，利用同角关系式使得已知条件可代入后再化简．

易错点

求解过程中注意公式的顺用和逆用

知识点

弦切互化三角函数中的恒等变换应用

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

4.下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

对于选项A，因为，且图象关于原点对称故选 A选项.

考查方向

本题主要考察三角函数的性质等知识，意在考察考生的基础知识。

解题思路

先将选项化简后利用三角函数的周期和奇偶性判断即可。

易错点

利用诱导公式化简时没有注意奇偶导致出错；不会利用辅助角公式化简C,D选项。

知识点

三角函数的周期性及其求法三角函数中的恒等变换应用

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

已知函数

（本小题满分13分，（1）小问7分，（2）小问6分）

19.求的最小正周期和最大值；

20.讨论在上的单调性.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

最小正周期为，最大值为；

解析

试题分析：三角函数问题一般方法是把函数转化为一个角，一个函数，一次式，即为形式，然后根据正弦函数的性质求得结论，本题利用诱导公式、倍角公式、两角差的正弦公式可把函数转化为，这样根据正弦函数性质可得（1）周期为，最大值为．

试题解析：（1）

,

因此的最小正周期为，最大值为.

考查方向

三角函数的恒等变换，周期，最值，考查运算求解能力．

解题思路

三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）函数的性质求解，三角函数的值域．

易错点

三角函数化简

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

在上单调递增；在上单调递减.

解析

试题分析：由已知条件得，而正弦函数在和上分别是增函数和减函数，因此可得单调区间．

试题解析：当时，有，从而

当时,即时，单调递增，

当时,即时，单调递减，

综上可知，在上单调递增；在上单调递减.

考查方向

三角函数的恒等变换，单调性，考查运算求解能力．

解题思路

三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）函数的性质求解，三角函数的值域、三角函数的单调性也可以使用导数的方法进行研究．

易错点

函数单调性的整体方法

1

题型：单选题

|

单选题 · 5 分

6．已知函数，，下列结论正确的是

A函数与的最大值不同

B函数与在上都为增函数

C函数与的图象的对称轴相同

D将函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再通过平移能得到的图象

正确答案

D

解析

由题意，得，，则的最大值均为，故选项A错误；当时，，此时单调递减，即选项B错误；的对称轴方程为，的对称轴方程为，即选项C错误；将函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的，得到，再向右平移个单位，得到的图象，即选项D正确；所以选D选项.

考查方向

本题主要考查了三角函数的图象与性质，在近几年的各省高考题中出现的频率较高，常与三角恒等变换、平面向量等知识交汇命题.

解题思路

1)先利用二倍角公式和配角公式化简函数解析式；

2)利用三角函数的图象和性质进行求解.

易错点

本题易在判断选项C时出现错误，易忽视“与的不同”.

知识点

三角函数中的恒等变换应用角的变换、收缩变换

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

9.已知函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，则的最小值是（）

A3

B

C

D

正确答案

A

解析

根据平移后与原函数重合可知平移的距离为周期可知

∴选Ａ

考查方向

该题主要考察了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考察了三角函数的周期性及其求法，该题属于简单题

解题思路

该题解题思路

1）根据平移后与原函数重合可知平移的距离为周期的整数倍

2）使用周期与的关系建立关系式

3）利用解析式求最值得到结果

易错点

主要易错于无法理解与原图重合对应的含义

知识点

三角函数的周期性及其求法函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换三角函数中的恒等变换应用

1

题型：单选题

|

单选题 · 5 分

9.已知函数在区间内单调递增，则的最大值是（）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

由已知得，由知，又因为f(x) 区间内单调递增，所以有解得，所以w的最大值为。因此A选项不正确，B选项不正确，D选项不正确，所以选C选项。

考查方向

本题主要考查了三角函数的诱导公式及单调性，在近几年的各省高考题出现的频率较高，常利用三角函数图像与性质求参数的取值范围来命题。

解题思路

先化简得,由f(x) 区间内单调递增可解得，所以w的最大值为因此A选项不正确，B选项不正确，D选项不正确，所以选C选项。

易错点

三角函数在某个给定区间递增或递减，不能正确转化满足条件的不等式。

知识点

三角函数的周期性及其求法三角函数中的恒等变换应用

1

题型：填空题

|

填空题 · 5 分

10.已知，则的最小正周期为______，单调递减区间为______.

正确答案

，

解析

化简的

则的最小正周期为

解不等式

∴单调递减区间为

考查方向

本题考查三角函数恒等变换，考察了三角函数的周期性和单调性，属基础题．

解题思路

1、由三角函数公式化简可得，2、由周期公式可得最小正周期，3、解可得单调递减区间

易错点

主要易错于三角函数恒等变换出错

知识点

三角函数中的恒等变换应用函数y＝Asin(ωx＋φ)的应用

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

16.已知函数

（I）求函数的单调递减区间；

（II）在中，分别是角A、B、C的对边，，求c.

正确答案

见解析

解析

考查方向

本题主要考察了二倍角的余弦公式，考察了两角和与差的正弦公式，考察了三角函数的恒等变换及化简求值，考察了余弦定理，余弦定理的应用，均值定理，考察了向量的数量积运算

解题思路

该题解题思路如下

1）使用和角公式展开

2）利用倍角公式对解析式降次

3）使用辅助角公式对解析式化简

4）利用特殊角的三角函数求值得到角C，

5）使用余弦定理得到a，b的关系，使用余弦定理求c

易错点

该题易于忽略了对C的范围的判断，该题属于简单

知识点

三角函数的化简求值三角函数中的恒等变换应用

1

题型：单选题

|

单选题 · 5 分

2．函数f(x)= sin2x+tancos2x的最小正周期为( )

A

B

C2

D4

正确答案

B

解析

因为，所以最小正周期，

故A选项不正确，C选项不正确，D选项不正确，所以选B选项。

考查方向

本题主要考查了三角函数的周期，考查考生对诱导公式的逆用及运算能力。

解题思路

先化简，再通过

故A选项不正确，C选项不正确，D选项不正确，所以选B选项。

易错点

对的运算易搞错角

知识点

三角函数的恒等变换及化简求值三角函数中的恒等变换应用

1

题型：简答题

|

简答题 · 12 分

在△ABC中，角A,B,C的对边分别为，已知，且。

16.求角A的大小；

17.设函数，求函数的单调递增区间

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）；

解析

试题分析：本题属于三角函数的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）直接按步骤来求，（2）要注意三角恒等变换的正确性；

（1）在中，因为，所以。

在△ABC中，因为，由正弦定理可得，

所以，，，故

考查方向

本题主要考查了余弦定理，三角函数最值；数形结合，转化的思想。

解题思路

1）第一问中利用余弦定理得到，再用正弦定理得到；

2）第二问中用倍角公式，和差公式可得，再利用正弦函数图像求单调区间。

易错点

1）第一问中用余弦定理得到的余弦值，容易求错角，再用正弦定理得到，也容易求成两个角；

2）第二问中用倍角公式，和差公式可得，有的学生容易用配方或提公因式。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）.

解析

试题分析：本题属于三角函数的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）直接按步骤来求，（2）要注意三角恒等变换的正确性；

（2）由（1）得

令，得

即函数的单调递增区间为

考查方向

本题主要考查了余弦定理，三角函数最值；数形结合，转化的思想。

解题思路

1）第一问中利用余弦定理得到，再用正弦定理得到；

2）第二问中用倍角公式，和差公式可得，再利用正弦函数图像求单调区间。

易错点

1）第一问中用余弦定理得到的余弦值，容易求错角，再用正弦定理得到，也容易求成两个角；

2）第二问中用倍角公式，和差公式可得，有的学生容易用配方或提公因式。

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正确答案

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