三角函数与三角恒等变换_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 7 分

在直角坐标平面内，将每个点绕原点按逆时针方向旋转的变换所对应的矩阵为,将每个点横、纵坐标分别变为原来的倍的变换所对应的矩阵为。

（1）求矩阵的逆矩阵；

（2）求曲线先在变换作用下，然后在变换作用下得到的曲线方程。

正确答案

见解析

解析

，，，…4分

（2），，

代入中得：。

故所求的曲线方程为：。…………………7分

知识点

诱导公式的推导

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

小明打算从组和组两组花样滑冰动作中选择一组参加比赛，已知小明选择组动作的概率是选择组动作的概率的3倍，若小明选择组动作并正常发挥可获得10分，没有正常发挥只能获得6分；若小明选择组动作则一定能正常发挥并获得8分，据平时训练成绩统计，小明能正常发挥组动作的概率是。

（1）求小明选择组动作的概率；

（2）设表示小明比赛时获得的分数，求的分布列与期望。

正确答案

见解析

解析

（1）设小明选择组动作的概率为，则小明选择组动作的概率为，依题意得

即。所以小明选择组动作的概率为0.75………………4分

（2）依题意得=10、6、8

………………10分

∴的分布列为

………………………………………13分

知识点

诱导公式的推导

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

已知函数有三个零点，则实数的取值范围为 .

正确答案

m＞1

解析

函数有三个零点等价于方程有且仅有三个实根. ∵，作函数的图像，如图所示，由图像可知应满足：，故.

知识点

诱导公式的推导

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题型：简答题

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简答题 · 10 分

如图,过圆O外一点P作该圆的两条割线PAB和PCD,分别交圆O于点A,B,C,D弦AD和BC交于Q点，割线PEF经过Q点交圆O于点E、F，点M在EF上，且

（1）求证:PA·PB=PM·PQ

（2）求证：

正确答案

见解析

解析

解析:（1）∵∠BAD＝∠BMF，

所以A,Q,M,B四点共圆，……………3分

所以.………………5分

（2）∵ ,

∴ ，

又 , 所以，……………7分

∴ ,则,………………8分

∵，

∴,

,

所以.…………………10分

知识点

诱导公式的推导

1

题型：简答题

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简答题 · 15 分

已知函数

（1）若，求函数的极小值；

（2）设函数，试问：在定义域内是否存在三个不同的自变量使得的值相等，若存在，请求出的范围，若不存在，请说明理由？

正确答案

见解析

解析

（1）由已知得，

则当时，可得函数在上是减函数，

当时，可得函数在上是增函数，

故函数的极小值为..

（2）若存在，设，则对于某一实数方程在上有三个不等的实根，

设，

则有两个不同的零点.

方法一：有两个不同的解，设，

则，

设，则，故在上单调递增，

则当时，即，

又，则故在上是增函数，

则至多只有一个解，故不存在.

方法二：关于方程的解，

当时，由方法一知，则此方程无解,当时，可以证明

是增函数，则此方程至多只有一个解，故不存在.

知识点

诱导公式的推导

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

17.随机变量X的分布列如下表如示，若数列是以为首项，以q为公比的等比数列，则称随机变量X服从等比分布，记为Q(,q)．现随机变量X∽Q(,2)．

（1）求随机变量X的分布列；

（2）一个盒子里装有标号为1，2，…，n且质地相同的标签若干张，从中任取1张标签所得的标号为随机变量X．现有放回的从中每次抽取一张，共抽取三次，求恰好2次取得标签的标号不大于3的概率．

正确答案

见解析。

解析

（1）依题意得，数列是以为首项，以2为公比的等比数列，所以=1 解得n=6

（2）随机抽取一次取得标签的标号不大于3的概率为

++

所以恰好2次取得标签的标号小于3的概率为

=

知识点

诱导公式的推导

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知函数.

（1）若，求y=f（x）在区间[2，4]上的值域；

（2）若曲线在点处的切线与曲线有且只有一个公共点，求的值。

正确答案

见解析。

解析

（1）

又f（2）=ln3-1，f（4）=1+ln5，

y=f（x）在区间[0，4]上的值域[ln3-1，ln5+1]

（2）函数的定义域为，

所以曲线在点处的切线方程为：

因为切线与曲线有唯一的公共点，

所以方程有且只有一个实数解，显然是方程的一个解。

令，

则

①　当a=1时,,所以g(x)在定义域内单调增,x=0是唯一实数解

②　当a时,

在区间上g(x)单调增, 在区间上g(x)单调减,

在区间上g(x)单调增,

而

因此在内也有一个解。

即当时，不合题目的条件.综上讨论得

知识点

诱导公式的推导

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题型：填空题

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填空题 · 4 分

设函数，若函数为偶函数，则实数的值为。

正确答案

解析

，

因为为偶函数，则，则对于恒成立，

从而有，得。

知识点

诱导公式的推导

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

如图，已知矩形的边与正方形所在平面垂直，，，是线段的中点。

（1）求证：平面；

（2）求二面角的大小。

正确答案

见解析

解析

解析:（1）建立如图所示的空间直角坐标系，

则……………… 2分

设平面的一个法向量为，则

取，得平面的一个法向量为，…………………………………………………………………………6分

，

所以，又因为直线不在平面内，所以平面。

……………………………………………6分

（2）由（1）知平面的一个法向量为，而平面的一个法向量为，

……………………………………………………………… 11分

所以向量与向量的夹角，从图中可以看出二面角为锐二面角，所以所求二面角的大小是。 …………… 12分

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

6.有5名优秀毕业生到母校的3个班去作学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为（）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

人数分配上有两种方式即1，2，2与1，1，3．

若是1，1，3，则有×=60种，若是1，2，2，则有×=90种

所以共有150种不同的方法．故选：A.

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1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

20．如图所示，已知单位正方体，是正方形的中心。

（1）求与下底面所成角的大小；

（2）求异面直线与所成的角的大小。

（3）求二面角的大小。

正确答案

（1）过作 ⊥平面 ‍，为垂足，

∴ 是在底面上的射影，

∴∠ 就是求与下底面所成角的大小，

∴在中，∠=arctan ，

因此，与下底面所成角的大小为acrtan。

（2），就是异面直线与所成的角，

，，

因此，与所成角的大小为。

（3）平面，，

就是二面角的平面角，

，因此，二面角的大小为45°

解析

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1

题型：填空题

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填空题 · 4 分

7．设函数，点表示坐标原点，点的坐标为（），表示直线的斜率，设，则=（）

正确答案

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1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

5. 执行下边的程序框图，若，则输出的（）

A

B

C

D

正确答案

C

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诱导公式的推导

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

16．△ABC的内角A，B，C把对的边a，b，c且ccosB与bcosC的等差中项为2acosA。

（1）求cosA的值；

（2）若△ABC的面积是求·的值。

正确答案

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题型：填空题

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填空题 · 4 分

13．已知是内一点，且，定义：，其中分别为、、的面积，若，则的最小值是（）。

正确答案

18

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