三角函数与三角恒等变换_章节学习

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且.

19.证明：；

20.若，求.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）根据正弦定理，可设===k(k>0)．

则a=ksin A，b=ksin B，c=ksin C．

代入+=中，有

+=，变形可得

sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B)．

在△ABC中，由A+B+C=π，有sin(A+B)=sin(π–C)=sin C，

所以sin Asin B=sin C．

解析

（I）证明：由正弦定理可知原式可以化解为

∵和为三角形内角 , ∴则，两边同时乘以，可得由和角公式可知，原式得证。

考查方向

本题主要考查了正弦定理、余弦定理、商数关系、平方关系.考查学生的分析问题的能力和计算能力

解题思路

本题考查正弦定理、余弦定理、商数关系等基础知识，考查学生的分析问题的能力和计算能力.在解三角形的应用中，凡是遇到等式中有边又有角时，可用正弦定理进行边角互化，一种是化为三角函数问题，一般是化为代数式变形问题．在角的变化过程中注意三角形的内角和为这个结论，否则难以得出结论．

易错点

本题考查正弦定理、余弦定理、商数关系等基础知识，在用化边为角的技巧应用中有时会发生错误。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）4.

解析

（II）由题,根据余弦定理可知，

∵为为三角形内角，，

则，即由（I）可知，∴ ∴

考查方向

本题主要考查了正弦定理、余弦定理、商数关系、平方关系.考查学生的分析问题的能力和计算能力

解题思路

本题考查正弦定理、余弦定理、商数关系等基础知识，考查学生的分析问题的能力和计算能力.在解三角形的应用中，凡是遇到等式中有边又有角时，可用正弦定理进行边角互化，一种是化为三角函数问题，一般是化为代数式变形问题．在角的变化过程中注意三角形的内角和为这个结论，否则难以得出结论．

易错点

本题考查正弦定理、余弦定理、商数关系等基础知识，在用化边为角的技巧应用中有时会发生错误。

1

题型：填空题

|

填空题 · 5 分

13．在中，内角所对的边分别为，已知的面积为，则的值为 .

正确答案

8

解析

因为，所以，

又，解方程组得，由余弦定理得

，所以.

考查方向

1.同角三角函数关系；2.三角形面积公式；3.余弦定理.

解题思路

根据1.同角三角函数关系；2.三角形面积公式；3.余弦定理.结合已知条件构造方程组解出即可。

易错点

定理不熟悉。

知识点

正弦定理余弦定理三角形中的几何计算

1

题型：填空题

|

填空题 · 4 分

12．若锐角的面积为，且，则等于________．

正确答案

解析

由已知得的面积为，所以，，所以．由余弦定理得，．

考查方向

1、三角形面积公式；2、余弦定理．

解题思路

利用三角形的面积公式求出A，再利用余弦定理求出BC.

易错点

计算能力弱，不会用余弦定理求三角形的面积

知识点

正弦定理余弦定理三角形中的几何计算

1

题型：填空题

|

填空题 · 5 分

16．在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是 .

正确答案

（，）.

解析

如图所示，延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合与E点时，AB最长，在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得，即，解得=，平移AD ，当D与C重合时，AB最短，此时与AB交于F，在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，，即，解得BF=，所以AB的取值范围为（，）.

考查方向

正余弦定理；数形结合思想

解题思路

本题可对边进行延长，由正弦定理求出BE然后求出BF,即可得到AB的范围。

易错点

本题在综合应用正余弦定理时易错。

知识点

正弦定理余弦定理三角形中的几何计算

1

题型：填空题

|

填空题 · 5 分

9．在中，设分别为角的对边，若，，则边= ________.

正确答案

解析

在三角形中，利用三角形的内角和A+B+C= ，则可以求出SinC,然后利用正弦定理即可计算出=7.

考查方向

本题主要考查了解三角形中的正、余弦定理,在近几年的各省高考题出现的频率较高，常与三角恒等变形公式，等知识点交汇命题。

解题思路

画出草图，标出已知信息，根据已知元素，合理准确地使用正、余弦定理求解。

易错点

根据已知额信息，不能如何准确地使用正、余弦定理求解。

知识点

正弦定理

1

题型：简答题

|

简答题 · 12 分

设△ABC的内角A,B,C的对边分别为，.

18.证明：;

19.若 ,且B为钝角，求A,B,C.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

由及正弦定理得，所以。

解析

见答案

考查方向

本题主要考察正弦定理及其应用，意在考察考生的运算求解能力和转化能力。

解题思路

由题及正弦定理得可得。

易错点

不会想到切割化弦；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

,,.

解析

因为，所以，

由（1）知，因此，又B为钝角，所以，

故，由知，从而，

综上所述，,,.

考查方向

本题主要考察正弦定理及其应用，意在考察考生的运算求解能力和转化能力。

解题思路

由两角和与差的公式化简得，结合（1）得，又B为钝角，所以求出角，进而可以求出角A,C。

易错点

做第（2）问时联系不上第（1）问的结论。

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

15．在中，，

（1）求的值；

（2）若点D在边上，，求的长。

正确答案

见解析

解析

解：如图，设的内角所对边的长分别是，由余弦定理得，所以.

又由正弦定理得.

由题设知，所以.

在中，由正弦定理得.

考查方向

本题考查了利用正余弦定理，求三角函数值及边长

解题思路

（1）用余弦定理求a

（2）由正弦定理求sinB

（3）在，由正弦定理求AD

易错点

忽略数形结合思想在本题中的作用。

知识点

同角三角函数间的基本关系正弦定理解三角形的实际应用

1

题型：简答题

|

简答题 · 12 分

16.已知向量，设

（I）求函数的解析式及单调增区间；

（II）在中，分别为内角A,B,C的对边，且，求的面积.

正确答案

（1）= []；

（2）

解析

试题分析：本题属于三角函数中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，直接按照步骤来求

（Ⅰ）

=

由可得

所以函数的单调递增区间为[],

（Ⅱ）

由可得

考查方向

本题考查了利用三角函数的函数单调区间和解三角形求面积

解题思路

本题考查三角函数与解三角形，解题步骤如下：

1、利用向量的数量积求出并求出单调区间；

2、利用余弦定理求出，借助正弦定理求出面积

易错点

第一问中的辅助角容易计算错误

知识点

正弦函数的单调性三角函数中的恒等变换应用正弦定理余弦定理平面向量数量积的运算

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

在△中，角分别是边的对角，且．

17.若，求的值；

18.若，求的值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

；

解析

试题分析：本题属于正余弦定理的综合应用问题，属于简单题，只要掌握相关的知识，即可解决本题，解析如下：

因为，由正弦定理有.又，所以.

因为，所以.从而；

因此.

考查方向

本题考查了正余弦定理的综合应用等知识点。

解题思路

直接利用正弦定理及边角关系进行计算；

易错点

正确答案

．

解析

试题分析：本题属于正余弦定理的综合应用问题，属于简单题，只要掌握相关的知识，即可解决本题，解析如下：

设，，则.所以.

考查方向

本题考查了正余弦定理的综合应用等知识点。

解题思路

设，，则，让背后直接利用余弦定理进行计算．

易错点

正确答案

解析

利用正弦定理得出

又∵

考查方向

本题主要考察了二倍角的正弦弦公式，考察了正弦定理的应用，考察了余弦函数的性质

解题思路

该题解题思路如下1、利用正弦定理得出2、使用倍角公式化简得到3、根据题意三角形为锐角三角形，得出角A的范围 4、利用余弦函数的性质得出取值范围，

易错点

该题易于忽略了对A的范围的判断，该题属于中档题

知识点

正弦定理余弦定理三角形中的几何计算

1

题型：简答题

|

简答题 · 12 分

已知的内角的对边分别为，且满足.

17.求的值；

18.若，求的面积.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

；

解析

∵，∴，

∴，∴，∴，∴，∴.

考查方向

本题主要考查了三角恒等变换，正余弦定理，以及三角形面积。

解题思路

第一问中用两角和差公式和三角恒等变换化简得到，再由正弦定理可得；

易错点

第一问中想不到将角拆成；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

.

解析

∵，，∴，∴，∴.

∴，即的面积的.

考查方向

本题主要考查了三角恒等变换，正余弦定理，以及三角形面积。

解题思路

第二问中用倍余弦定理得到一个角，在用三角形面积公式求得面积。

易错点

第二问中用余弦定理求角时容易将特殊角记错。

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足cos2C－cos2A＝2sin（＋C）·sin（－C）．

17.求角A的值；

18.若a＝且b≥a，求2b－c的取值范围．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

（1）由已知得，

化简得，故．

考查方向

本题主要考察了二倍角的余弦公式，考察了两角和与差的正弦公式，考察了三角函数的恒等变换及化简求值，考察了余弦定理的应用，均值定理

解题思路

该题解题思路如下

1）利用倍角公式对解析式降次

2）利用特殊角的三角函数求值得到角A，

3）使用正弦定理，进行边角之间的转换

4）根据角的取值范围得到答案

易错点

该题易于忽略了对A的范围的判断，该题属于中档题

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

解：

（2）由正弦定理，得，

故=

因为，所以，，

所以．

考查方向

本题主要考察了二倍角的余弦公式，考察了两角和与差的正弦公式，考察了三角函数的恒等变换及化简求值，考察了余弦定理的应用，均值定理

解题思路

该题解题思路如下

1）利用倍角公式对解析式降次

2）利用特殊角的三角函数求值得到角A，

3）使用正弦定理，进行边角之间的转换

4）根据角的取值范围得到答案

易错点

该题易于忽略了对A的范围的判断，该题属于中档题

1

题型：简答题

|

简答题 · 12 分

在中，角的对边分别为，满足.

17.求；

18.若的面积为，，求的角平分线的长度.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）；

解析

试题分析：本题属于解三角形问题，属于基础题，主要考查两个定理的应用以及三角形的面积公式。具体解答步骤如下：

（Ⅰ）由正弦定理，，

可得，

所以，

因为，所以，故；

考查方向

本题考查了解三角形和三角恒等变换，意在考查考生的基本逻辑推理能力和计算能力。

解题思路

本题考查解三解形，解题步骤如下：

1）利用正弦定理及三角恒等变换求出C。

2）通过面积公式及得出a,b有两组解。

3）根据a,b的两组解分别求的角平分线的长度.

易错点

1、利用余弦定理增加运算量； 2、第二问解三角形时遗漏一组解。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）的角平分线为长为

解析

试题分析：本题属于解三角形问题，属于基础题，主要考查两个定理的应用以及三角形的面积公式。具体解答步骤如下：

（Ⅱ）解法一：由已知，

所以，又，解得，或

当时，由余弦定理可知，

所以.

所以,为直角三角形，.

因为平分，所以

在中，.

当时，同理可得

所以的角平分线为长为

（Ⅱ）解法二：在中，因为平分，所以

因为，所以，

由已知，所以，

又，

解得.

考查方向

本题考查了解三角形和三角恒等变换，意在考查考生的基本逻辑推理能力和计算能力。

解题思路

本题考查解三解形，解题步骤如下：

1）利用正弦定理及三角恒等变换求出C。

2）通过面积公式及得出a,b有两组解。

3）根据a,b的两组解分别求的角平分线的长度.

易错点

1、利用余弦定理增加运算量； 2、第二问解三角形时遗漏一组解。

1

题型：简答题

|

简答题 · 12 分

在△ABC中，已知a，b, c分别是角A，B，C的对边，且满足．

17.求角A的大小;

18.若a=2，求△ABC的周长的取值范围．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）；

解析

（1）由正弦定理，得，

∴，则．

∵，∴，∴．

∵，∴，∴．源:Zxxk.Com]

考查方向

本题主要考查了正弦定理的应用，近几年高考考查频率很高，常考查通过正余定理求角或边等问题。

解题思路

（1）利用已知条件和正弦定理求出角A（2）利用（1）中和a=2及正弦定理表示出，又得到即。故的周长

易错点

通过正弦定理表示三边即周长，易忽视角的范围出错。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）

解析

（2）由正弦定理，得，

∴

＝

＝．

∵，∴，∴，∴，

∴，故的周长．

考查方向

本题主要考查了正弦定理的应用，近几年高考考查频率很高，常考查通过正余定理求角或边等问题。

解题思路

（1）利用已知条件和正弦定理求出角A（2）利用（1）中和a=2及正弦定理表示出，又得到即。故的周长

易错点

通过正弦定理表示三边即周长，易忽视角的范围出错。

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

6．在中，，则=（）

A-1

B1

C

D-2

正确答案

A

解析

,可得，

,因为A、B都小于45度，所以C为钝角，所以

考查方向

同角三角函数间的基本关系

解题思路

根据所给条件，求出其他同角三角函数值

易错点

计算错误，忽略取值正负

知识点

正弦定理余弦定理三角形中的几何计算

热门试卷

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析