三角函数与三角恒等变换_章节学习

1

题型：填空题

|

填空题 · 5 分

15. 已知在中，的平分线把三角形分成面积比为4:3的两部分，则 .

正确答案

解析

因为，角平分线CD把三角形面积分成4:3的两部分，由角平分线定理得到：BC:AC=BD:AD=3:4,由正弦定理得，得到，,即

，所以

考查方向

正弦定理、二倍角正弦公式、角平分线定理

解题思路

由正弦定理整理，二倍角正弦公式

易错点

正弦定理的转化

知识点

余弦定理三角形中的几何计算

1

题型：填空题

|

填空题 · 5 分

16.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、16.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若2ccosB=2a+b，△ABC的面积为S=c，则ab的最小值为_______．

正确答案

解析

在中，由正弦定理可得

即，c=3ab,

再由余弦定理可得，

整理可得当且仅当a=b时等号成立。

即。

考查方向

正余弦定理解三角形.

解题思路

本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的应用及诱导公式和两角和的正弦公式、基本不等式等重要知识点的应用，属于综合性较强的基础题解答本题的关键是通过正弦定理和两角和的正弦公式把条件中的边角混合式转化为角的关系式，从而求得角的值，这为后面利用三角形的面积创造了条件，最后通过基本不等式求出最值.

易错点

本题在化边为角的过程中易错

知识点

正弦定理余弦定理三角形中的几何计算

1

题型：简答题

|

简答题 · 12 分

17.在中，角的对边分别为，且，.

（1）求角B的大小；

（2）若等差数列的公差不为零，且=1，且成等比数列，求的前项和.

正确答案

（1）；

（2）.

解析

试题分析：本题第（1）问属于解三角形以及三角恒等变换的知识，是基础知识，难度中等；第（2）问是数列求和的问题，用主要考查了裂项相消法求数列的前n项和，解答过程如下：

（Ⅰ）由，所以，又，再由得

，即，，则为钝角。

，则，

解得。

（Ⅱ）设的公差为，由已知得，且.

∴ ．

又, ∴. ∴.

∴. ∴ .

考查方向

本题考查了解三角形以及数列的相关问题，主要考查了余弦定理、三角恒等变换、等差、等比数列的性质以及数列求和等知识，同时考查了转化化归思想以及运算求解能力。

解题思路

1、第（1）问根据余弦定理求出，然后再利用已知条件以及三角恒等变换公式进行转化求解即可。

2、第（2）问可以先用已知条件求出，然后利用裂项相消法求数列的前n项和。

易错点

本题容易因为忽略三角形内角的范围而导致错误的出现。

知识点

三角形中的几何计算

1

题型：填空题

|

填空题 · 5 分

14．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，点D为AC中点，点E满足，则＝．

正确答案

-2

解析

,,

所以

考查方向

本题主要考查向量的线性运算、平面向量基本定理以及向量的数量积等知识，意在考查考生的运算能力和逻辑推理能力。

解题思路

1.先将向量分别用向量表示出来；

2.利用数量积运算求出所求答案。

易错点

1.不会将所求的向量都用基底表示出来；

2.向量的数量积运算律和实数的运算混淆。

知识点

三角形中的几何计算

1

题型：单选题

|

单选题 · 5 分

7．在中，点在线段上，且，点在线段上(与点不重合).若，则的取值范围是( )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

如图,由有

且点在线段上(与点不重合)，

，解得.

A选项不正确，B选项不正确，D选项不正确，所有选C选项.

考查方向

本题主要考查了平面向量的基本运算.

解题思路

1、通过，将其中的向量统一用向量来表示. 2、利用进一步构造关于的数量关系.即可得到结果.

A选项不正确，B选项不正确，D选项不正确，所有选C选项.

易错点

1、本题易在平面向量的加法和减法的运算规律上出错，将二者的运算法则混淆. 2、本题不容易找出各向量之间的联系，从而使题解无法进行.

知识点

三角形中的几何计算

1

题型：简答题

|

简答题 · 10 分

15．在中，角所对的边分别为，。

（1）求角的大小；

（2）若，求ABC的面积。

正确答案

（1）；

（2）．

解析

试题分析：本题属于解三角形中的基本问题，难度不大。

（1）此类问题主要应用正（余）弦定理和三角形面积公式；

（2）注意边和角的统一。

解析：（1）在△ABC中，由(a+b－c)(a+b+c)＝ab，得，即cosC＝．

因为0＜C＜π，所以C＝．

（2）因为c＝2acosB，由正弦定理，得

sinC＝2sinAcosB，

因为A+B+C＝π，所以sinC＝sin(A+B)，

所以sin(A+B)＝2sinAcosB，即sinAcos B－cosAsinB＝0，即sin(A－B)＝0，分

又－＜A－B＜，

所以A－B＝0，即A＝B，所以a＝b＝2．

所以△ABC的面积为S△ABC＝absinC＝×2×2×sin＝．

考查方向

本题旨在考查三角函数的基本关系、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、向量的数量积等基本知识，考查运算求解能力．难度较小．

解题思路

本题旨在考查三角函数的基本关系、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、向量的数量积等基本知识.

解题步骤如下：

化简已知条件，利用余弦定理求解。

边角互化，利用正（余）弦定理和三角形面积公式求解。

易错点

第一问中化简易出错误。

第二问不知道统一成边或者角进行处理。

知识点

三角形中的几何计算

1

题型：单选题

|

单选题 · 5 分

9.在△ABC中，内角A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 cos 2B＋cosB＝1－cos AcosC 则（）

Aa，b，c 成等差数列

Ba，b，c 成等比数列

Ca，2b，3c 成等差数列

Da，2b，3c 成等比数列

正确答案

B

解析

由cos 2B＋cosB＝1－cos AcosC

得到sin 2B=cos Acos C－cos（A＋C）

所以sin 2B=cos Acos C－cos AcosC＋sinAsinC

所以sin 2B=sinAsinC

由正弦定理得，b2 = ac，所以a，b，c 成等比数列，故选B。

考查方向

本题主要考查等比中项、同角三角函数的基本关系、两角和与差的余弦公式、正弦定理等知识，意在考查考生的运算推理能力。

解题思路

1.先利用三角函数中的公式将cos 2B＋cosB＝1－cos AcosC化简；

2.利用正弦定理得到边之间的关系即可。

易错点

1.对于题中cos 2B＋cosB＝1－cos AcosC的化简不会入手；

2.对于三角函数的化简出错

知识点

三角形中的几何计算等差数列的判断与证明等比数列的判断与证明

1

题型：简答题

|

简答题 · 12 分

正确答案

知识点

正弦定理的应用余弦定理的应用三角形中的几何计算

1

题型：单选题

|

单选题 · 5 分

3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝，则cosB＝

A－

B

C－

D

正确答案

B

解析

。A选项不正确，C选项不正确，D选项不正确，所以选B选项。本题主要考查解三角形的正弦定理

考查方向

本题主要考查解三角形的正弦定理

解题思路

利用正弦定理求解，即可得到结果。A选项不正确，C选项不正确，D选项不正确，所以选B选项。

易错点

本题易在代换时发生错误。

知识点

正弦定理三角形中的几何计算

1

题型：单选题

|

单选题 · 5 分

8.在中，内角的对边长分别为，已知，且＝，则（）

A6

B4

C2

D1

正确答案

C

解析

由题意，得，

即，

由正弦定理，

得，

整理，

得，又，

所以联立以上两式可得b=2.

故选择C选项。

考查方向

本题主要考查了两角和与差的正弦、正余弦定理等知识点，为高考必考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高，常与正余弦定理等知识点交汇命题。

解题思路

利用两角和与差的正弦及余弦定理即可求出b值。

易错点

对相关知识不熟悉导致出错。

知识点

两角和与差的正弦函数余弦定理三角形中的几何计算

1

题型：简答题

|

简答题 · 12 分

17.△ABC的内角A，B，C的对边分别别为a，b，c，已知

（I）求C；

（II）若的面积为，求△ABC的周长．

正确答案

解（Ⅰ）∵2cos C（acosB+bcosA）=C

∴2cos C（sinAcos B+sinBcosA）=sinC

∴2cosC sin(A+B)=sinC

∴2cosC sinC=sin C

∴ 0＜C＜π

∴ cosC=

∴ C=

(Ⅱ) ∵△ABC面积为且C=

∴即

∴（a+b）2=a2+b2+2ab=13+12=25

∵a+b=5

∴a+b+c=5+

∴ABC的周长为5+

知识点

正弦定理的应用余弦定理的应用三角形中的几何计算

1

题型：单选题

|

单选题 · 5 分

（5分）（2015•上海）已知点A的坐标为（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（　　）

A

B

C

D

正确答案

D

知识点

三角形中的几何计算

1

题型：简答题

|

简答题 · 14 分

（14分）（2015•上海）如图，A，B，C三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米．现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时．乙到达B地后原地等待．设t=t1时乙到达C地．

（1）求t1与f（t1）的值；

（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t1≤t≤1时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t1，1]上的最大值是否超过3？说明理由．

正确答案

解：（1）由题意可得t1==h，

设此时甲运动到点P，则AP=v甲t1=5×=千米，

∴f（t1）=PC=

==千米；

（2）当t1≤t≤时，乙在CB上的Q点，设甲在P点，

∴QB=AC+CB﹣8t=7﹣8t，PB=AB﹣AP=5﹣5t，

∴f（t1）=PC=

==千米；

（2）当t1≤t≤时，乙在CB上的Q点，设甲在P点，

∴QB=AC+CB﹣8t=7﹣8t，PB=AB﹣AP=5﹣5t，

∴f（t）=PQ=

=

=，

当＜t≤1时，乙在B点不动，设此时甲在点P，

∴f（t）=PB=AB﹣AP=5﹣5t

∴f（t）=

∴当＜t≤1时，f（t）∈[0，]，

故f（t）的最大值超过了3千米．

知识点

三角形中的几何计算三角函数的最值

1

题型：简答题

|

简答题 · 10 分

22.如图，在中，于，于，交于点，若，．

（1）求证：；

（2）求线段的长度．

正确答案

（1）见解析；

（2）．

解析

试题分析：本题属于圆的知识的综合应用问题，属于简单题，解析如下：

（1）证明：由已知∠BDC=∠BEC=90°，

所以B，C，D，E四点在以BC为直径的圆上，

由割线定理知：.

（2）解：如图，过点F作FG⊥BC于点G，

由已知，∠BDC=90°，又因为FG⊥BC，所以B，G，F，D四点共圆，

所以由割线定理知：，①

同理，F，G，C，E四点共圆，由割线定理知：

，②

①+②得：，

即，

所以.

考查方向

本题考查了四点共圆、割线定理等知识点。

解题思路

（1）由已知条件B、C、D、E四点在以BC为直径的袁尚，从而由割线定理即可使问题得证；

（2）过点F做于点G，易得B、G、F、D四点共圆，F、G、C、E四点共圆哦，从而利用割线定理求解。

易错点

知识点

三角形中的几何计算

1

题型：填空题

|

填空题 · 4 分

（2015•上海）在锐角三角形 A BC中，tanA=，D为边 BC上的点，△A BD与△ACD的面积分别为2和4．过D作D E⊥A B于 E，DF⊥AC于F，则•=　　　　　　．

正确答案

知识点

三角形中的几何计算平面向量数量积的运算

热门试卷

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

知识点

正确答案

知识点

正确答案

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

知识点