三角函数与三角恒等变换_章节学习

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知的内角的对边分别为，且满足.

17.求的值；

18.若，求的面积.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

；

解析

∵，∴，

∴，∴，∴，∴，∴.

考查方向

本题主要考查了三角恒等变换，正余弦定理，以及三角形面积。

解题思路

第一问中用两角和差公式和三角恒等变换化简得到，再由正弦定理可得；

易错点

第一问中想不到将角拆成；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

.

解析

∵，，∴，∴，∴.

∴，即的面积的.

考查方向

本题主要考查了三角恒等变换，正余弦定理，以及三角形面积。

解题思路

第二问中用倍余弦定理得到一个角，在用三角形面积公式求得面积。

易错点

第二问中用余弦定理求角时容易将特殊角记错。

1

题型：单选题

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单选题 · 4 分

（2016上海奉贤一模）用一4个倍放大镜照△，下列说法错误的是（）.

A△放大后，是原来的4倍；

B△放大后，边是原来的4倍；

C△放大后，周长是原来的4倍；

D△放大后，面积是原来的16倍；

正确答案

A

知识点

三角形中的几何计算

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

在中，角所对的边分别为，.

16.求角的大小；

17.若，的面积为，求及的值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

(1) ;

解析

（Ⅰ）

即

又，

考查方向

本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式等知识，意在考查考生的运算求解能力和转化与化归能力.

解题思路

根据题中给出等式求出进而求出角C；

易错点

对于正弦定理的反复转化不明白。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(2)

解析

（Ⅱ）

由正弦定理，得

且

，由正弦定理得：

解得

考查方向

本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式等知识，意在考查考生的运算求解能力和转化与化归能力.

解题思路

先根据余弦定理求出后利用正弦定理得到后利用面积相等得到等量关系求解即可。

易错点

不知道该如何使用的面积为这一条件；

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

△ABC中，，AB＝2，点D在线段AC上，且AD=2DC，BD

17.求BC的长；

18.求△DBC的面积。

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

3

解析

解∵cos∠ABC………………………………2

在△ABC中，设BC=a，AC=3b ∴9b2＝ ①…………5

在△ABD中， cos∠ADB＝

在△BDC中， cos∠BDC＝……………………7

cos∠ADB=－cos∠BDC

=－ ②

由①② ∴BC=3……………………9

考查方向

本题主要考查的是解三角形的有关知识

解题思路

利用角的关系，利用余弦定理得到边的关系，通过解方程求得BC长。

易错点

含有a的方程不易处理。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

解，……………………12

考查方向

本题主要考查的是解三角形的有关知识

解题思路

利用角的关系，利用余弦定理得到边的关系，通过解方程求得BC长。

易错点

含有a的方程不易处理。

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

在△ABC中，已知a，b, c分别是角A，B，C的对边，且满足．

17.求角A的大小;

18.若a=2，求△ABC的周长的取值范围．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）；

解析

（1）由正弦定理，得，

∴，则．

∵，∴，∴．

∵，∴，∴．源:Zxxk.Com]

考查方向

本题主要考查了正弦定理的应用，近几年高考考查频率很高，常考查通过正余定理求角或边等问题。

解题思路

（1）利用已知条件和正弦定理求出角A（2）利用（1）中和a=2及正弦定理表示出，又得到即。故的周长

易错点

通过正弦定理表示三边即周长，易忽视角的范围出错。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）

解析

（2）由正弦定理，得，

∴

＝

＝．

∵，∴，∴，∴，

∴，故的周长．

考查方向

本题主要考查了正弦定理的应用，近几年高考考查频率很高，常考查通过正余定理求角或边等问题。

解题思路

（1）利用已知条件和正弦定理求出角A（2）利用（1）中和a=2及正弦定理表示出，又得到即。故的周长

易错点

通过正弦定理表示三边即周长，易忽视角的范围出错。

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

5. 在中，，，，则_ _.

正确答案

解析

由正弦定理得，所以，又，所以。

考查方向

本题主要考查利用正余弦定理解三角形，意在考查考生对于正余弦定理的基本理解和运算。

解题思路

1.先利用正弦定理求出角C；2.利用大边对大角求出角C的准确值。

易错点

1.不知道应该用什么定理；2.不会根据大边对大角舍去一个角，导致结果出错。

知识点

正弦定理余弦定理三角形中的几何计算

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

如图，在平面四边形中，，，，，.

17.求；

18.求的长.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

(1) ;

解析

（Ⅰ）在中，由余弦定理得：，

即，解得：，或（舍），

由正弦定理得：

考查方向

本题主要考查利用正余弦定理解三角形的知识，意在考查考生的运算求解能力。

解题思路

先利用余弦定理求出，后利用正弦定理求解即可；

易错点

不知道该在哪个三角形中使用什么定理；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

;(2)

解析

（Ⅱ）由（Ⅰ）有：，，

所以,

由正弦定理得：

考查方向

本题主要考查利用正余弦定理解三角形的知识，意在考查考生的运算求解能力。

解题思路

利用第（1）问的结论求出，然后利用正弦定理求解即可。

易错点

意识不到是互余的关系导致第（2）问无法正确求解。

1

题型：简答题

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简答题 · 15 分

如图所示，在四边形中， =，且，，．

16.求△的面积；

17.若，求的长．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

（Ⅰ）

因为，所以，

所以△ACD的面积．

考查方向

本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，属于中档题．

解题思路

利用已知条件求出∠D角的正弦函数值，然后求的面积；

易错点

主要易错于计算出错，

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

（Ⅱ）在△ACD中，，

所以．

在△ABC中，

把已知条件代入并化简得：因为，所以

考查方向

本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，属于中档题．

解题思路

利用余弦定理求出AC，通过，利用正弦定理求解AB的长．

易错点

主要易错于计算出错，

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

16．，则=

正确答案

解析

令AC=AD=1，CD=x > 0 , 则 AB=3 ， BC= 3x ，

考查方向

本题主要考查正弦定理和余弦定理等知识，意在考查考生的运算求解能力。

解题思路

1.先设出题中需要的线段的长度；

2.根据余弦定理求出，进而利用余弦定理求出。

易错点

1.不会设出长度解决问题；

2.不会利用角A的余弦构造方程解方程。

知识点

正弦定理余弦定理三角形中的几何计算

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

11.已知函数和函数在区间上的图像交于A、B、C三点，则△ABC的面积是（）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

由，又得或

或，即点,

故.

考查方向

本题主要考查三角函数的图像和性质和解三角方程等知识，意在考查考生的数形结合能力和运算求解能力。

解题思路

1.先根据求出；2.利用三角形的面积公式求出面积即可。

易错点

1.不会结合图像求出A,B,C的坐标；2.不会做函数和函数的图像。

知识点

三角函数中的恒等变换应用三角形中的几何计算

1

题型：单选题

|

单选题 · 5 分

5．在中，角A，B，C的对边分别为若，则角B的值为

A

B

C

D

正确答案

C

解析

由余弦定理，知，所以

所以，可化为：，

所以，，所以，B＝。

故选C。

考查方向

本题主要考查了余弦定理的应用及三角函数的定义等知识，在近几年的各省高考题出现的频率较高，常以三角公式与正余定理等知识交汇命题，较易。

解题思路

由条件得。化简得，则可得B＝。

易错点

本题在把题意转化成余弦定理模型上易出错。

本题容易忽视正弦在上不单调而出现错解。

知识点

三角函数中的恒等变换应用三角形中的几何计算

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知向量当时，有函数

17.若求的值；

18.在中，角的对边分别是，且满足求函数的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

,

得

即因为所以.所以

考查方向

向量的坐标运算，三角函数的重要性质，三角恒等变换公式，解三角形。

解题思路

先通过向量垂直，得到三角关系,利用辅助角公式得到三角函数的解析式y=sin(x-) +，=，再利用二倍角公式进行合理转化。

易错点

向量的坐标运算，三角函数的恒等变换

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(0,)

解析

由得.根据正弦定理可得：

∴， ∴在中 ∠ . ∴,

, .故函数的取值范围为.

考查方向

向量的坐标运算，三角函数的重要性质，三角恒等变换公式，解三角形。

解题思路

将边用正弦定理进行转化，得到cosA=,所以A=,求出(B-)的取值范围，进而求出f(B)的范围。

易错点

向量的坐标运算，三角函数的恒等变换

1

题型：简答题

|

简答题 · 12 分

已知函数．

20.求函数取得最大值时取值的集合；

21.设，，为锐角三角形的三个内角.若，，求的值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

当取得最大值时,取值的集合为

解析

要使取得最大值，须满足取得最小值.

当取得最大值时,取值的集合为

考查方向

本题通过三角函数、倍角公式、辅助角公式等知识，考查考生推理论证能力及运算求解能力，在近几年的各省高考题中是必考知识点。

解题思路

解题步骤如下：

易错点

本题易在利用倍角公式变形时发生错误。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

考查方向

本题通过三角函数、倍角公式、辅助角公式等知识，考查考生推理论证能力及运算求解能力，在近几年的各省高考题中是必考知识点。

解题思路

易错点

本题易在利用倍角公式变形时发生错误。

1

题型：简答题

|

简答题 · 12 分

已知向量m，n，设函数．

20.求函数取得最大值时取值的集合；

21.设，，为锐角三角形的三个内角.若，，求的值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

当取得最大值时,取值的集合为

解析

要使取得最大值，须满足取得最小值.

当取得最大值时,取值的集合为

考查方向

本题通过向量的坐标运算、三角函数、倍角公式、辅助角公式等知识，考查考生推理论证能力及运算求解能力，在近几年的各省高考题中是必考知识点。

解题思路

解题步骤如下：利用向量的坐标运算、倍角公式、辅助角公式把函数化简成的形式，即可求出函数取得最大值，以及此时取值的集合。

易错点

本题易在利用倍角公式变形时发生错误。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由题意，得

. ，

考查方向

本题通过向量的坐标运算、三角函数、倍角公式、辅助角公式等知识，考查考生推理论证能力及运算求解能力，在近几年的各省高考题中是必考知识点。

解题思路

解题步骤如下：由，可求出的值；由，可得到角C，又,即可得出结论。

易错点

本题易在利用倍角公式变形时发生错误。

1

题型：填空题

|

填空题 · 5 分

16.在中，，为边上的点，且，，则的面积的最大值为 .

正确答案

2

解析

设AB=a，在三角形ABM中，cosA== ,设的面积为S,S=sinA，4=-, 将上式进行化简整理得，12=-+56-16，当时，的面积S有最大值2.

考查方向

本小题考查解三角形，具体考查余弦定理

解题思路

先将cosA表示为关系是AB边长的关系式，的面积S=sinA，再通过三角函数关系，用AB边长表示三角形的面积，讨论a的取值求出三角形面积的最大值

易错点

根据提供的数据，选择正、余定理，函数的最值讨论

知识点

三角形中的几何计算

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正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

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易错点

正确答案

知识点

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解析

考查方向

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易错点

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易错点

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易错点

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考查方向

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易错点

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考查方向

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易错点

知识点

正确答案

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考查方向

解题思路

易错点

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考查方向

解题思路

易错点

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考查方向

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易错点

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考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点