三角函数与三角恒等变换_章节学习

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

5．底面边长为2m，高为1m的正三棱锥的全面积为（）m2

正确答案

m2

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

解三角形的实际应用

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

4.已知f（x）是定义在R上的可导函数,f'（x）为f（x）的导函数,又有两个向量m=（f（x）,-1）,n=（1,f'（x））,且对于x∈R,两向量m,n的夹角范围都是[0,）,则（　　）.

Ae2014f（-2014）<f（0）,f（2015）>e2015f（0）

Be2014f（-2014）<f（0）,f（2015）<e2015f（0）

Ce2014f（-2014）>f（0）,f（2015）>e2015f（0）

De2014f（-2014）>f（0）,f（2015）<e2015f（0）

正确答案

D

解析

因为向量m,n的夹角范围都是[0,),

所以m·n=(f(x),-1)·(1,f'(x))=f(x)-f'(x)>0,

令F(x)=,则F'(x)=<0,

所以F(x)=为定义在R上的减函数,

所以F(2015)<F(0),,所以f(2015)<e2015f(0).

F(-2014)>F(0),,所以e2014f(-2014)>f(0)

知识点

解三角形的实际应用

1

题型：简答题

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简答题 · 3 分

7．某船在海平面处测得灯塔在北偏东方向，与相距海里.船由向正北方向航行海里达到处，这时灯塔与船相距___________海里（精确到0.1海里）

正确答案

解析

由题可知，AB=6,AC=8.1,A=30o，可求得BC=。

考查方向

本题主要考查了解三角形的实际应用举例。

解题思路

本题考查余弦定理，解题步骤如下：利用余弦定理求解。

易错点

本题要注意余弦定理。

知识点

解三角形的实际应用

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

15．在中，，

（1）求的值；

（2）若点D在边上，，求的长。

正确答案

见解析

解析

解：如图，设的内角所对边的长分别是，由余弦定理得，所以.

又由正弦定理得.

由题设知，所以.

在中，由正弦定理得.

考查方向

本题考查了利用正余弦定理，求三角函数值及边长

解题思路

（1）用余弦定理求a

（2）由正弦定理求sinB

（3）在，由正弦定理求AD

易错点

忽略数形结合思想在本题中的作用。

知识点

正弦定理解三角形的实际应用

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

21.节能环保日益受到人们的重视，水污染治理也已成为“十三五”规划的重要议题．某地有三家工厂，分别位于矩形的两个顶点、及的中点处，km，km，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界），且与、等距离的一点处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道、、．设（弧度），排污管道的总长度为km．

（1）将表示为的函数；

（2）试确定点的位置，使铺设的排污管道的总长度最短，并求总长度的最短公里数（精确到0.01 km）．

正确答案

（1）（）；

（2）点在中垂线上离点距离为km处，取得最小值km．

解析

（1）由已知得，

即（其中）

（2）记，则，则有，

解得或

由于，所以，当，即点在中垂线上离点距离为

km处，取得最小值（km）．

考查方向

本题以实际问题为背景，主要考查函数解析式的构建以及函数最值的求解，考查数学建模的能力，是中档题．以实际问题为背景的生活中的优化问题，这类问题在近几年各省市的高考试卷中频频出现，是高考的热点问题．这类问题往往涉及到建立函数关系式和函数的最值，一般先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，求最值时可利用三角函数的有界性、函数的单调性，也可直接利用导数求最值，要掌握求最值的方法和技巧．也注意结果应与实际情况相符合．

解题思路

先建立函数，再利用三角函数的有界性求的范围，最后得到需要的结果．

易错点

建立函数过程中，容易遗忘定义域，还要注意实际情况；求最值的有多种方法，还要注意结果应与实际情况相符合．

知识点

函数模型的选择与应用解三角形的实际应用

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

9. 在△ABC中，AB=AC，M为AC的中点，BM=，则△ABC面积的最大值是（）

A2

B

C

D3

正确答案

A

解析

如图，设等腰三角形顶角为，腰长为，然后根据腰上的中线长，所以

所以当时，有最大值

考查方向

本题主要考查大家建立函数模型设自变量，解决函数最值问题的能力，考查了二次函数的最值问题和余弦定理的运用，计算量较大，难度中档，属高考热点之一。关于建立函数模型求最值的问题，在高考中常会结合均值不等式和导数等问题一起考查。

解题思路

如图，

设等腰三角形顶角为，腰长为，然后根据腰上的中线长，用余弦定理得到之间的关系式，再根据余弦值求出正弦值，再用正弦定理表示面积，求出最值。

易错点

不能选取合适的变量建立函数模型，或在复杂计算过程中出错

知识点

解三角形的实际应用三角函数的最值

1

题型：填空题

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填空题 · 14 分

21．如图，在一条景观道的一端有一个半径为米的圆形摩天轮O，逆时针分钟转一圈，从处进入摩天轮的座舱，垂直于地面，在距离处米处设置了一个望远镜．

（1）同学甲打算独自乘坐摩天轮，但是其母亲不放心，于是约定在登上摩天轮座舱分钟后，在座舱内向其母亲挥手致意，而其母亲则在望远镜中仔细观看．问望远镜的仰角应调整为多少度？（精确到1度）

（2）在同学甲向其母亲挥手致意的同时，同一座舱的另一名乘客乙在拍摄地面上的一条绿化带，发现取景的视角恰为，求绿化带的长度（精确到1米）．

正确答案

（1）；

（2）94米．

解析

（1）逆时针分钟转一圈，

∴分钟转过

过点作于点，

则

∴，

∴

答：望远镜的仰角设置为

（2）在中，，

∴

∴由正弦定理得

∴

答：绿化带的长度为94米．

考查方向

本题主要考查利用正弦定理解三角形，是一道有实际问题背景的应用题．应用题的考查在近几年的各省高考题中出现的频率非常高，通常与函数、不等式、三角、数列、解析几何、立体几何、向量、概率统计等知识点相结合进行命题，是高考的热点问题．

解题思路

题（1），摩天轮做匀速转动，逆时针15分钟转一圈，可得5分钟转过120°，过点C作CH⊥AB于点H，解三角形可得望远镜的仰角；

（2）由题意可求CD，利用正弦定理即可解得BD的长度．

易错点

面对题设条件，无法确定什么时候用正弦定理什么时候用余弦定理或其它相关知识求解三角形的边与角．

知识点

函数模型的选择与应用正弦定理的应用解三角形的实际应用

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

14．已知，若存在，满足,则称是的一个“友好”三角形

(i) 在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是____：（请写出符合要求的条件的序号）

① ；

②；

③．

(ii) 若等腰存在“友好”三角形，且其顶角的度数为___．

正确答案

②;

解析

为三角形中的角不存在，所以①不存在友好三角形；

，不满足三角形的内角和为。所以③不存在友好三角形；故选②

；

,即有四类可能。分别为三个“-”；两个“-”一个“+”；一个“-”两个“+”；或三个“+”。第一、三、四类都不成立。第二类中若

,即。

考查方向

本题主要考察了解三角形问题，属于难题，是高考的热点，解决此类题的关键：一是会化简，熟悉三角恒等变形公式；二是会用性质，熟悉单解三角形的问题。

易错点

本题易在公式变形时发生错误，导致题目出错。

知识点

解三角形的实际应用

1

题型：简答题

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简答题 · 5 分

16．如图所示，已知中，，，为边上的一点，

为上的一点，且，则________．

正确答案

解析

本题已知直角中的所有量（三边，三角），要求的线段长可能在直角中，此三角形中已知一直角边，要求另一直角边，要么先求得斜边，要么先求得一锐角，再结合已知条件发现锐角与直角中的角有联系，由此得出解法．

考查方向

解三角形．

解题思路

利用解直角三角形相关公式求解

易错点

分析试题，找不到解决问题的突破口。

知识点

解三角形的实际应用

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

7.在△ ABC中，a，b, c分别是角A，B，C所对边的边长，若cos A + sin A- =0,则的值是（）

A1

B

C

D2

正确答案

B

解析

得∴,∴利用正弦定理知

考查方向

本题主要考查解三角形

解题思路

利用两角和与差的正弦、余弦函数公式化简，根据正弦、余弦函数求出cos(A+B)与sin(A+B)的值，进而求出A,B,C的度数，利用正弦定理化简所求的式子，计算即可得到结果

易错点

利用正余弦定理边角互化

知识点

正弦定理解三角形的实际应用

1

题型：简答题

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简答题 · 4 分

9. 已知的三边长为，则该三角形的外接圆半径等于________________

正确答案

解析

，

∴

知识点

三角形中的几何计算解三角形的实际应用

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

15. 在ABC中，

（I）求的大小

（II）求的最大值

正确答案

知识点

余弦定理的应用解三角形的实际应用

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

21.如图，在一条景观道的一端有一个半径为米的圆形摩天轮O，逆时针分钟转一圈，从处进入摩天轮的座舱，垂直于地面，在距离处米处设置了一个望远镜.

（1）同学甲打算独自乘坐摩天轮，但是其母亲不放心，于是约定在登上摩天轮座舱分钟后，在座舱内向其母亲挥手致意，而其母亲则在望远镜中仔细观看。问望远镜的仰角应调整为多少度？（精确到1度）

（2）在同学甲向其母亲挥手致意的同时，同一座舱的另一名乘客乙在拍摄地面上的一条绿化带，发现取景的视角恰为，求绿化带的长度（精确到1米）

正确答案

（1）；

（2）94米

解析

（1）逆时针分钟转一圈，

分钟转过，

过点作于点，则，

，

答：望远镜的仰角设置为

（2）在中，，

由正弦定理得：

答：绿化带的长度为94米.

考查方向

本题主要考查了角的概念，反三角函数和正弦定理的基本知识和解题能力。反三角函数的知识在近几年的各省高考题出现的频率较低。

解题思路

本题考查了角的概念，反三角函数和正弦定理的基本知识和解题能力，数形结合，合理转换边角关系即可得解。

易错点

本题必须注意边角关系的合理转换，忽视则会出现错误。

知识点

正弦定理的应用解三角形的实际应用

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

16.中，，的平分线交边于，且，，则的长为___________．

正确答案

解析

由题意三点共线，且，则，根据角平分线的性质，所以，，所以.

考查方向

本题主要考查余弦定理、角平分线的性质知识点．

解题思路

利用交平分线的性质求AC，再利用向量及余弦定理即可求AD。

易错点

对相关知识点的不熟悉导致错误。

知识点

解三角形的实际应用

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

在中，角A，B，C的对边分别为若，则角B的值为

A B．

B D．

正确答案

B

考查方向

本题主要考查了余弦定理的应用及三角函数的定义等知识，在近几年的各省高考题出现的频率较高，常以三角公式与正余定理等知识交汇命题，较易。

易错点

1、本题在把题意转化成余弦定理模型上易出错。

知识点

正弦定理余弦定理解三角形的实际应用

热门试卷

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