三角函数与三角恒等变换_章节学习

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

如图，三地有直道相通，千米，千米，千米.现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地，经过小时，他们之间的距离为（单位：千米）.甲的路线是，速度为5千米/小时，乙的路线是，速度为8千米/小时.乙到达地后原地等待.设时乙到达地.

22. 求与的值；

23．已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当时，求的表达式，并判断在上得最大值是否超过3？说明理由.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1），千米.

解析

试题分析：（1）由题意可得，由余弦定理可得

，然后代入计算即可；

（1），设此时甲运动到点，则千米，

所以

千米.

考查方向

本题考查解三角形的实际应用，涉及余弦定理，属中档题．

解题思路

解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．

易错点

实际问题数学模型的转化

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）超过了3千米.

解析

试题分析：（2）分段求出对应函数解析式，根据函数单调性求得最值即可.

（2）当时，乙在上的点，设甲在点，

所以，，

所以

，

当时，乙在点不动，设此时甲在点，

所以.

所以当时,，故的最大值超过了3千米.

考查方向

本题考查解三角形的实际应用，分段函数，属中档题．

解题思路

解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．

易错点

分段函数单调性最值的求解

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

中，角A,B,C的对边分别为，且

17.求角B的大小；

18.若BD为AC边上的中线，，BD=，求△ABC的面积

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

,由正弦定理，得，，

，因为，所以，所以,因为，所以.

考查方向

正弦定理;余弦定理

解题思路

利用正弦定理求角度

易错点

正弦定理、余弦定理的性质掌握不好

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

法一：在三角形中，由余弦定理得

，所以。在三角形中，由正弦定理得，由已知得所以，所以由（1），（2）解得。所以。

法二：延长到,,连接,中，,。因为，[。由已知得，所以,，由（1）（2）解得,。

考查方向

正弦定理;余弦定理

解题思路

用余弦定理求面积

易错点

正弦定理、余弦定理的性质掌握不好

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

15．在中，，

（1）求的值；

（2）若点D在边上，，求的长。

正确答案

见解析

解析

解：如图，设的内角所对边的长分别是，由余弦定理得，所以.

又由正弦定理得.

由题设知，所以.

在中，由正弦定理得.

考查方向

本题考查了利用正余弦定理，求三角函数值及边长

解题思路

（1）用余弦定理求a

（2）由正弦定理求sinB

（3）在，由正弦定理求AD

易错点

忽略数形结合思想在本题中的作用。

知识点

同角三角函数间的基本关系正弦定理解三角形的实际应用

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

13．海轮“和谐号”从A处以每小时21海里的速度出发，海轮“奋斗号”在A处北偏东的方向，且与A相距10海里的C处，沿北偏东的方向以每小时9海里的速度行驶，则海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为 ▲ 小时

正确答案

解析

由题意做出平面图，如图所示，，设所需要的时间为小时，则，在中，由余弦定理可得，解得。

考查方向

本题主要考查解三角形的实际应用问题。

解题思路

1）根据题意，以及方向角，画出平面图形；

2）在中用余弦定理得到关于时间的方程；

易错点

本题应当根据题意画出准确的图像，学生容易画错，计算也是比较难的；

知识点

解三角形的实际应用

1

题型：填空题

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填空题 · 20 分

请你谈一谈对“不同生产方式以及生产工艺中，生产物流管理所采用的方法和手段是不同的。”这句话的理解。

正确答案

测试

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)的最大值为________。

正确答案

1

解析

函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sin φcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)cos φ－cos(x＋φ)sin φ＝sin x，故其最大值为1.

知识点

两角和与差的正弦函数三角函数的最值

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知函数

（1）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；

（2）若，求的值。

正确答案

见解析。

解析

（1）解：由，得

所以函数的最小正周期为

因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又

，所以函数在区间上的最大值为2，最小值为-1

（2）解：由（1）可知

又因为，所以

由，得

从而

所以

知识点

三角函数的周期性及其求法三角函数中的恒等变换应用三角函数的最值

1

题型：填空题

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填空题 · 4 分

函数的最大值为。

正确答案

解析

==

==，

当=1时，=.

知识点

三角函数中的恒等变换应用三角函数的最值

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

设函数,。

（1）若,求的最大值及相应的的取值集合；

（2）若是的一个零点,且,求的值和的最小正周期.

正确答案

见解析。

解析

（1）

当时,，

而,所以的最大值为,

此时,,即,,

∴取最大值时相应的的集合为

（2）依题意,即,,

整理,得,

又,所以,,

而,所以,,所以,的最小正周期为.

知识点

三角函数的周期性及其求法三角函数中的恒等变换应用三角函数的最值

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

13．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度_________m.

正确答案

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

解三角形的实际应用

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

设向量.

（1）若，求的值；

（2）设函数的最大值.

正确答案

见解析

解析

知识点

三角函数中的恒等变换应用三角函数的最值平面向量共线（平行）的坐标表示平面向量数量积的运算

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

已知函数。

（1）求的值；

（2）当时，求的取值范围。

正确答案

（1）

（2）的取值范围为

解析

（1）因为

………1分

， ………3分

所以， ………6分

（或 ………3分）

（2）因为

所以， ………8分

所以。

所以， ………10分

所以。

所以， ………12分

所以的取值范围为， ………13分

知识点

同角三角函数间的基本关系正弦函数的定义域和值域三角函数的最值

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

对于函数，下列选项中正确的是

A内是递增的

B的图象关于原点对称

C的最小正周期为

D的最大值为1

正确答案

B

解析

略

知识点

三角函数的周期性及其求法正弦函数的单调性正弦函数的对称性三角函数中的恒等变换应用三角函数的最值

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

设函数的最小正周期为,最大值为,则

A,

B,

C,

D。,

正确答案

B

解析

略

知识点

三角函数的周期性及其求法三角函数中的恒等变换应用三角函数的最值

1

题型：简答题

|

简答题 · 12 分

设，，若是函数的一个零点，且函数的最大值为。

（1）求实数和的值；

（2）中，设、、所对的边分别为、、，若，且，求的值。

正确答案

见解析。

解析

（1），

因为是的一个零点，即，，

易知的最大值为，从而依题意有，综上，

（2）由（Ⅰ）可知，于是，

由正弦定理及余弦定理有：，

故，又，

于是，

，即。

知识点

函数零点的判断和求解三角函数中的恒等变换应用正弦定理的应用三角函数的最值平面向量数量积的运算

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