三角函数与三角恒等变换
共3475题

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题型：单选题

单选题 · 5 分

8．现有三个小球全部随机放入三个盒子中，设随机变量为三个盒子中含球最多的盒子里的球数，则的数学期望为（　　）

正确答案

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任意角的概念

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单选题 · 5 分

7．若函数y=2x图象上存在点满足约束条件，则实数的最大值为（　）

正确答案

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任意角的概念

题型：填空题

填空题 · 5 分

11．如图，AB，CD是半径为的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD=，∠OAP=30°，则CP＝______．

正确答案

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任意角的概念

题型：简答题

简答题 · 12 分

18．在中，

（1）若三边长构成公差为4的等差数列，求的面积

（2）已知是的中线，若，求的最小值

正确答案

（1），设三边为，

由余弦定理：

即

所以

（2）

因为，所以

所以

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任意角的概念

题型：简答题

简答题 · 13 分

15．在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c，且.

（1）求的值；

（2）若，求bc的最大值。

正确答案

（1）=

===

（2） ∵，

∴,

又∵

∴

当且仅当 b=c=时,bc=,故bc的最大值是.

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题型：单选题

单选题 · 5 分

5．已知，则sin2x的值为（）

正确答案

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任意角的概念

题型：填空题

填空题 · 5 分

13．一艘轮船在江中向正东方向航行，在点观测到灯塔在一直线上，并与航线成角．轮船沿航线前进1000米到达处，此时观测到灯塔在北偏西方向，灯塔在北偏东方向．则此时轮船到灯塔的距离为__________米．

正确答案

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任意角的概念

题型：简答题

简答题 · 15 分

22．设．

（1）若，求最大值;

（2）已知正数，满足．求证：；

（3）已知，正数满足．

证明: ．

正确答案

（1）

时，，当时，

．即在上递增，在递减．

故时，有

，

则

易证在在上递增，在上递减．

时，

有．

，即，

即证

（3）用数学归纳法证明如下：

①当时，命题显然成立；

②假设当时，命题成立，

即当时，

．

则当，即当时，

，

又假设知

，

即

=．

这说明当时，命题也成立．

综上①②知，当，正数满足时

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题型：单选题

单选题 · 5 分

12．已知a2＋b2=1，b2＋c2=2，c2＋a2=2，则ab＋bc＋ca的最小值为（）

正确答案

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题型：简答题

简答题 · 12 分

17．在△ABC中，a=3，b=2 ，∠B=2∠A．

（I）求cosA的值；

（II）求c的值．

正确答案

（I）因为a=3，b=2，∠B=2∠A．

所以在△ABC中，

由正弦定理得．

所以．

故．

（II）

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题型：简答题

简答题 · 13 分

15．设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为、、，．

（Ⅰ）求的大小；

（Ⅱ）求的取值范围．

正确答案

（Ⅰ）由，根据正弦定理得，所以，

由为锐角三角形得．

（Ⅱ）

．

由为锐角三角形知，

，．，

所以．由此有，

所以，的取值范围为．

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题型：填空题

填空题 · 5 分

10．=____________．

正确答案

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填空题 · 5 分

14．在ABC中，B=，，．则=_________，ABC的面积等于_____________．

正确答案

，

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题型：简答题

简答题 · 14 分

17．如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA1=3，D为AC的中点．

（Ⅰ）求证：AB1//面BDC1；

（Ⅱ）求二面角C1—BD—C的余弦值；

（Ⅲ）在侧棱AA1上是否存在点P，使得CP⊥面BDC1？并证明你的结论．

正确答案

（I）证明：连接B1C，与BC1相交于O，连接OD

∵BCC1B1是矩形，∴O是B1C的中点.又D是AC的中点，

∴OD//AB1.∵AB1面BDC1，OD面BDC1，∴AB1//面BDC1

（II）解：如力，建立空间直角坐标系，则

C1（0，0，0），B（0，3，2），C（0，3，0），A（2，3，0）， D（1，3，0）

设=（x1，y1，z1）是面BDC1的一个法向量，则

，即，取

易知=(0，3，0)是面ABC的一个法向量.

∴二面角C1—BD—C的余弦值为

（III）假设侧棱AA1上存在一点P（2，y，0）（0≤y≤3），使得CP⊥面BDC1.

则

∴方程组无解.∴假设不成立. ∴侧棱AA1上不存在点P，使CP⊥面BDC1

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填空题 · 5 分

11．已知，则的值为_____________．

正确答案

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