热门试卷

（1）由于f（x）=sinx（1+sinx）+cos2x=1+sinx

当x∈时，﹣≤sinx≤1

故 ≤1+sinx≤2

故函数f（x）在上值域为[，2]

（2）在△ABC中，由，

可得sinA=，sinB=

所以sinC=sin（A+B）

=sinAcosB+cosAsinB

=+=

故f（C）=1+sinC=1+=

（1）根据三角函数的定义

得，

又α是锐角，所以，

（2）由（1）知，，

又α是锐角，β是钝角

所以，

所以

（3）由题意可知，

所以

因为

所以

所以函数的值域为

（1）在四棱锥P﹣ABCD中，

由于E为PB的中点，

再取DP的中点F，AP的中点为K，

则FK是三角形PAD的中位线，

FK平行且等于AD；

EF是三角形PBD的中位线，

故有BD∥EF     ①．

再根据PA=PB=AD=AB=4BC=4，

AD∥BC，且AD⊥面PAB，

可得EF=BD=2，CE==，

FC===．

显然有 CE2+EF2=FC2，

∴ EF⊥CE       ②．

由①、②可得BD⊥CE．

（2）由题意可得平面ABCD⊥平面PAB，

过点E作EG⊥AB，G为垂足，则EG⊥平面ABCD．

再过点G作GH⊥AC，H为垂足，则有三垂线定理可得，

EH⊥AC，

∴ ∠EHG为二面角E﹣AC﹣B的平面角．

由=AB•EG，

可得=，

解得  EG=．

由于AD⊥面PAB，AD∥BC，

∴ BC⊥面PAB，∴ CPB⊥面PAB．

再根据等边三角形种AE⊥PB，

∴ AE⊥平面PBC，∴AE⊥EC．

再根据=，

可得 =，

解得 EH=2．

直角三角形EGH中，sin∠EHG==，

∴ cos∠EHG==，

即二面角E﹣AC﹣B的余弦值为 ．

（1）

=．

因为x=2为f（x）的极值点，所以f'（2）=0．

即，解得a=0．

又当a=0时，f'（x）=x（x﹣2），

从而x=2为f（x）的极值点成立．

（2）因为f（x）在区间[3，+∞）上为增函数，

所以

在区间[3，+∞）上恒成立．

①当a=0时，f'（x）=x（x﹣2）≥0在[3，+∞）上恒成立，

所以fx）在[3，+∞上为增函数，故a=0符合题意．

②当a≠0时，由函数f（x）的定义域可知，

必须有2ax+1＞0对x≥3恒成立，故只能a＞0，

所以2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2）≥0对x∈[3，+∞0上恒成立．

令g（x）=2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2），其对称轴为，

因为a＞0所以，

从而g（x）≥0在[3，+∞）上恒成立，

只要g（3）≥0即可，

因为g（3）=﹣4a2+6a+1≥0，

解得．

因为a＞0，所以．

综上所述，a的取值范围为．

（3）若时，

方程x＞0可化为

．

问题转化为

b=xlnx﹣x（1﹣x）2+x（1﹣x）=xlnx+x2﹣x3在（0，+∞）上有解，

即求函数g（x）=xlnx+x2﹣x3的值域．

以下给出两种求函数g（x）值域的方法：

方法1：因为g（x）=x（lnx+x﹣x2），

令h（x）=lnx+x﹣x2（x＞0），

则，

所以当0＜x＜1，h′（x）＞0，

从而h（x）在（0，1）上为增函数，

当x＞1，h′（x）＜0，

从而h（x'）在（1，+∞上为减函数，

因此h（x）≤h（1）=0．

而，故b=x•h（x）≤0，

因此当x=1时，b取得最大值0．

方法2：因为g（x）=x（lnx+x﹣x2），

所以g'（x）=lnx+1+2x﹣3x2．

设p（x）=lnx+1+2x﹣3x2，

则．

当时，p'（x）＞0，

所以p（x）在上单调递增；

当时，p'（x）＜0，

所以p（x）在上单调递减；

因为p（1）=0，故必有，

又，

因此必存在实数

使得g'（x0）=0，

∴当0＜x＜x0时，g′（x）＜0，

所以g（x）在（0，x0）上单调递减；

当x0＜x＜1，g′（x）＞0，

所以，g（x）在（1，+∞）上单调递减；

又因为，

当x→0时，lnx+＜0，

则g（x）＜0，又g（1）=0．

因此当x=1时，b取得最大值0．

原式