热门试卷

（1）设椭圆C的方程为 。     ………………………………1分

由已知b=  离心率 ,得

所以，椭圆C的方程为.   ……………………………………………………………4分

（2）①由（1）可求得点P、Q的坐标为 ，，则， ……………5分

设AB(),直线AB的方程为，代人

得：.

由△>0,解得，由根与系数的关系得       ………………………7分

四边形APBQ的面积

故当   …②由题意知，直线PA的斜率，直线PB的斜率

则  ………………………10分

=

=，由①知

可得

所以的值为常数0.      ……………………………………………………………………13分

（1）cos2α=cos2α﹣sin2α==，

因为tanα=2，所以，

所以cos2α=。

（2）因为α∈（0，π），且tanα=2，所以

又cos2α=，∴，，

因为β∈（0，π），cosβ=﹣。

所以，，

所以sin（2α﹣β）=sin2αcosβ﹣cos2αsinβ

=

=﹣，

又，

∴2α﹣β=﹣。

解析：（1）由题意知，直线的斜率为，

又，，∴直线的斜率为。   （2分）

∵，由，得，即（当时，等号成立），∴。

∵、是不同的两点，即，∴，∴，

即或。

∴直线的斜率的取值范围为。   （4分）

（2）由题意易得，线段的中点坐标为。

∵直线是线段的垂直平分线，

∴直线的方程为，   （5分）

又∵，，即，

∴直线的方程为。    （6分）

将直线的方程分别代入抛物线方程和椭圆方程并整理得，

， ①

，②

易知方程①的判别式，

方程②的判别式，

由（1）易知，又，∴，∴恒成立。

设，则

，

∴线段的中点的坐标为，

又∵，

∴线段的中点的坐标为。  （9分）

∴，，由得，

，即， ∴。  （10分）

∵，∴，，

∴，由题易知，椭圆的离心率，，

∴，∴，∴。

故椭圆的离心率的取值范围为。    （13分）

当t0时，y0，xcos，即y0，且；

当t0时，，

所以.

（1）如图，取AC的中点F，连接BF，则BF⊥AC，以A为坐标原点，过A且与FB平行的直线为x轴，AC为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，如图所示

则A（0，0，0），B（，1，0），C（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1）

∴=（，1，﹣2），=（0，1，1）

设直线AE、PB所成的角为θ，则cosθ==

即直线AE与PB所成角的余弦值为；

（2）

设PA=a，则P（0，0，a），可得=（，1，﹣a），=（0，2，﹣a）

设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则•=0且•=0

∴，令z=2，得y=a，x=。

可得=（a，a，2）是平面PBC的一个法向量

∵D、E分别为PB、PC中点，∴D（，，），E（0，1，）

因此，=（，，），=（0，1，），

类似求平面PBC法向量的方法，可得平面ADE的一个法向量=（﹣a，﹣a，2）

∵平面ADE⊥平面PBC，

∴⊥，可得•=﹣a2﹣a2+4=0，解之得a=

因此，线段PA的长等于。

解析：（1）如题图乙，在中，由于点、分别是，的中点，

∴，又平面，平面，∴平面，（4分）

（2）由题意易知、、两两互相垂直，以点为坐标原点，分别以直线、、为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系。

设，则，

则，，，，，，（5分）

取平面的一个法向量为。

设平面的一个法向量为，

又，

则即令，得

∴，（6分）

∴，（7分）

即二面角的余弦值为，（8分）

（3）假设在线段上存在一点，使。

不妨设，由,。(9分)

由（2）得，。

∵，∴，即，解得，（11分）

∵，∴在线段上不存在一点，使，（12分）

解析：（1）∵-

∴，(3分)

∴

又已知点为的图像的一个对称中心。∴

而  （6分）

（2）若，

  （9分）

∵，∴

即m的取值范围是  （12分）

（1）由已知得···························4分

化简得·······················6分

（2）由正弦定理，得

故

                         ----------8分

因为，所以，，----------10分

所以。    ----------12

解析：（1）当为的中点时,

∥平面.

证明：（方法一）取的中点N，连结MN、AN、ME，

MN∥，AE∥，

 四边形MNAE为平行四边形，可知 ME∥AN

在平面内∥平面.

（方法二）延长交延长线于，连结.

∥，又为的中点,

∥平面∥平面.

（2）当为的中点时，, ,又,

可知,所以,平面平面,

所以二面角的大小为；

又二面角的大小为二面角与二面角大小的和，

只需求二面角的大小即可；

过A点作交DE于F，则平面,，

过F作于H，连结AH，

则AHF即为二面角的平面角，

，，，

所以二面角的大小为。

由柯西不等式，得

（1）∵，∴是二面角的平面角.又∵二面角是直二面角，∴,∴平面，∴，又，∴平面，∴.…………………4分

（2）由（1）

,.

又，

∴.………………………8分

（3）连接交于点，连接,则∥.

∵,∴,∴为的中点，

而为的中点，∴为的重心,

∴,∴.

即在线段上是否存在一点，使得∥，

此时.……………………12分

在中，，由余弦定理

…………………3分

所以，，…………………………………………5分

在中，由条件知，

所以………………8分

由正弦定理   

所以 ………………………………………………………11分

故这时此车距离A城15千米………………………………………………………12分

解法1：

（1）过，且，则为异面直线与所成的角。，……3分

（2）为的中点。

∵为的中点,∴平面，从而。……5分

∵，……6分

∴平面，………7分

（3）由平面，得。

又由（2）平面，∴由三垂线定理得，，∴是二面角的平面角，…………10分

∵，∴，即二面角的余弦值为，…………12分

解法2：以为坐标原点，所在直线分别为轴建立直角坐标系，…2分

（1）∵，，∴，……3分

（2）设，∵，，，……

……6分

由平面得，∴∴，即为的中点。

…………7分

（3）由（2）知，为平面的一个法向量。

设为平面的一个法向量，则，。

由令，∴，……10分

∴，即二面角的余弦值为，…………12分