圆的标准方程
共116题

· 圆的标准方程

圆的标准方程
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题型：简答题

简答题 · 16 分

22．设，为坐标平面上的点．直线与抛物线交于点（异于点）．

（1）对任意，点在抛物线上，试问当为何值时，点在某一圆上?并求出该圆的方程；

（2）若点在椭圆上运动，试问能否保持在一双曲线上?若能，求出该双曲线的方程．若不能，说明理由；

（3）对（1）中点所在的圆，设为圆上两点，且满足，试寻找一个定圆，使得恒与圆相切．

正确答案

（1）直线，与抛物线联立得，依题意，

，当时，在圆上；

（2）若点在椭圆上运动，则，

（方法1）两边同除以得，，

∴点在双曲线上；

（方法2）设，则代入上式，

得，

即，∴点在双曲线上；

（3）（方法1）设，则，

由得

① 当直线的斜率为零时，

设的方程为，于是（舍负）

②当直线的斜率不为零时，

设的方程为，代入圆的方程得

，于是，

即原点到直线的距离，与无关，

∴直线总与圆相切．

（方法2）设，原点到直线的距离为

则，

即

注意到圆是的外接圆，

∴，∴

即原点到直线的距离为定值，

∴直线总与圆相切．

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知识点

圆的标准方程双曲线的定义及标准方程圆锥曲线的定点、定值问题圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：单选题

单选题 · 5 分

10．设椭圆上的动点Q，过动点Q作椭圆的切线l，过右焦点作l的垂线，垂足为P，则点P的轨迹方程为（　　）

Ax2+y2=a2

Bx2+y2=b2

Cx2+y2=c2

Dx2+y2=e2

正确答案

解析

解：因为动点Q在椭圆上任意一点

过动点Q作椭圆的切线l，过右焦点作l的垂线

垂足为P，不妨取点Q在椭圆的四个顶点处

当点Q（a．0）时，过动点Q作椭圆的切线l：x=a

过右焦点作l的垂线为：y=0，此时的交点P（a，0）

适合答案A；

当Q（0，b）时，过动点Q作椭圆的切线l：y=b

过右焦点作l的垂线为：x=c，此时的交点P（c，b）也适合答案A．

由于a＞b＞0，所以当当点Q（a．0）时，不适合x2+y2=b2故不选B；

当Q（a．0），显然不适合x2+y2=c2，故不选C；

当Q（a．0），时代入x2+y2=a2+0≠e2，故不选D．

故答案选：A．

知识点

圆的标准方程直接法求轨迹方程

题型：单选题

单选题 · 5 分

9．的外接圆的圆心为，半径为，且，则向量在方向上的投影为（）

正确答案

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知识点

圆的标准方程

题型：简答题

简答题 · 12 分

21．已知圆A：，圆B：，动圆P与圆A．圆B均外切，直线的方程为x＝a (a≤).

（Ⅰ）求动圆P的圆心的轨迹C的方程；

（Ⅱ）过点B的直线与曲线C交于M．N两点，（1）求｜MN｜的最小值；（2）若MN的中点R在上的射影Q满足MQ⊥NQ，求的取值范围.

正确答案

解：

（Ⅰ）设动圆P的半径为，则│PA│＝，│PB│=,

∴│PA│－│PB│=2. 故点P的轨迹是以A、B为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，

其方程为（≥1）.

（Ⅱ）(1)设MN的方程为，代入双曲线方程，得

. 由，解得.

设,则 .

当时,.

(2)由（1）知，.

由,知.

所以，从而.

由,得.

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圆的标准方程

题型：简答题

简答题 · 12 分

19．已知圆：及定点，点是圆上的动点，点在上，点在上，且满足＝2，·＝．

（Ⅰ）若，求点的轨迹的方程；

（Ⅱ）若动圆和（Ⅰ）中所求轨迹相交于不同两点，是否存在一组正实数，使得直线垂直平分线段，若存在，求出这组正实数；若不存在，说明理由．

正确答案

解：（Ⅰ）

∴点为的中点

又，或点与点重合．

∴ 又

∴点的轨迹是以为焦点的椭圆，且

∴G的轨迹方程是

（Ⅱ）解：不存在这样一组正实数，由题意，若存在这样的一组正实数，

当直线的斜率存在时，设之为，故直线的方程为：，

设，中点

则，两式相减得：．

注意到，且，则，②

又点在直线上，，代入②式得：．

因为弦的中点在（1）所给椭圆内，故，这与矛盾，

所以所求这组正实数不存在．

当直线的斜率不存在时，直线的方程为

则此时，代入①式得，这与是不同两点矛盾．

综上，所求的这组正实数不存在．

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