圆的标准方程_章节学习

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

圆的方程为，圆的方程，过上任意一点P作圆的两条切线PM、PN，切点分别为M、N，则∠MPN最大值为_____________.

正确答案

答案：

解析

圆的圆心的轨迹方程是，当∠MPN取最大值时，是P点距离圆上的点的距离最小的时候，此时，所以

知识点

圆的标准方程

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

已知动圆过定点P(2,0)，且在y轴上截得弦长为4。

（1）求动圆圆心的轨迹Q的方程；

（2）已知点E(m,0)为一个定点，过E作斜率分别为k1、k2的两条直线交轨迹Q于点A、B、C、D四点，且M、N分别是线段AB、CD的中点，若k1 + k2 = 1，求证：直线MN过定点。

正确答案

见解析。

解析

（1）设动圆圆心为O1(x，y)，动圆与y轴交于R，S两点，由题意，得|O1P|＝|O1S|，

当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥RS交RS于H，则H是RS的中点，

∴|O1S|＝，

又|O1P|＝，

∴=，

化简得y2＝4x(x≠0)。

又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标为(0,0)也满足方程y2＝4x，

∴动圆圆心的轨迹Q的方程为y2＝4x。

（2）由，得，

AB中点，∴，同理，点

∴

∴MN：，即

∴直线MN恒过定点

知识点

圆的标准方程

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

已知动圆过定点P(2,0)，且在y轴上截得弦长为4。

（1）求动圆圆心的轨迹Q的方程；

（2）已知点E(m,0)为一个定点，过E作斜率分别为k1、k2的两条直线交轨迹Q于点A、B、C、D四点，且M、N分别是线段AB、CD的中点，若k1 + k2 = 1，求证：直线MN过定点。

正确答案

见解析。

解析

（1）设动圆圆心为O1(x，y)，动圆与y轴交于R，S两点，由题意，得|O1P|＝|O1S|，

当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥RS交RS于H，则H是RS的中点，

∴|O1S|＝，

又|O1P|＝，

∴=，

化简得y2＝4x(x≠0)。

又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标为(0,0)也满足方程y2＝4x，

∴动圆圆心的轨迹Q的方程为y2＝4x。

（2）由，得，

AB中点，∴，同理，点…………8分

∴…………10分

∴MN：，即

∴直线MN恒过定点…………12分

知识点

圆的标准方程

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

设椭圆的中心和抛物线的顶点均为原点，、的焦点均在轴上，过的焦点F作直线，与交于A、B两点，在、上各取两个点，将其坐标记录于下表中：

（1）求，的标准方程；

（2）若与交于C、D两点，为的左焦点，求的最小值。

正确答案

见解析。

解析

（1）在椭圆上，在抛物线上，………2分

： …………………6分

（2） =.…………7分

是抛物线的焦点，也是椭圆的右焦点，①当直线的斜率存在时，

设：,，

联立方程，得，时恒成立. ………………（9分）

联立方程，得，恒成立.

,

=. …………11分

②当直线的斜率不存在时，：，此时，，，=.……………12分

所以，的最小值为. ……………………………13分

知识点

圆的标准方程

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

已知椭圆：的两焦点为，，并且经过点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知圆:，若直线与椭圆只有一个公共点，且直线与圆相切于点；求的最大值。

正确答案

见解析。

解析

（1）解法一：

由椭圆的定义知:

得，故的方程为

解法二：依题意，①，将点坐标代入得②

由①②解得，故的方程为.

（2）直线的斜率显然存在，设直线的方程为，

由直线与圆相切，得①

由（*)，

因为直线与椭圆相切，所以，得②，将②代入（*)式，解得.

由

可得③，

由①②④，将④代入③得，

当且仅当，所以

知识点

圆的标准方程

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