圆锥曲线与方程_章节学习

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

椭圆的一个焦点是F(1,0),O为坐标原点

（1）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求推圆方程；

（2）设过F的直线L交椭圆于A,B两点，若直线L绕点F任意转动，恒有<,求a的取值范围。

正确答案

（1）（2）

解析

解析：

（2）①当L的斜率不存在时其方程为x=1

从而由<得

②若L的斜率存在，设其方程为y=k(x-1)

则由<得

，从而化简得：

综上得：a的取值范围为。

（说明：本题也可由余弦定理及向量知识将⑵转化为再去做）

知识点

双曲线的几何性质

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知定义在实数集上的函数 N，其导函数记为，且满足，其中、、为常数，.设函数R且.

（1）求实数的值；

（2）若函数无极值点，其导函数有零点，求m的值；

（2）求函数在的图象上任一点处的切线斜率k的最大值。

正确答案

（1）（2）

（3）

解析

（1）因为，

所以，整理得：

又，所以.…………………………………………3分

（2）因为，

所以.…………………………4分

由条件.……………………5分

因为有零点而无极值点,表明该零点左右同号，又，所以二次方程有相同实根，即

解得.…………………………………………8分

（3）由（1）知，，因为，所以[12，+∞]，所以①当或时，恒成立，所以在（0，]上递增，

故当时，k取得最大值，且最大值为，…………10分

②当时，由得，而.

若，则，k单调递增；

若，则，k单调递减。

故当时，k取得最大值，

且最大值等于.…………………13分

综上，…………………………14分

知识点

双曲线的几何性质

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

双曲线的左、右焦点分别为和，左、右顶点分别为和，过焦点与轴垂直的直线和双曲线的一个交点为，若是和的等比中项，则该双曲线的离心率为

正确答案

解析

由题意可知，即，经化简可得，则.

知识点

等比数列的性质及应用双曲线的几何性质

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

定义：对于两个双曲线,,若的实轴是的虚轴，的虚轴是的实轴，则称,为共轭双曲线。现给出双曲线和双曲线，其离心率分别为。

（1）写出的渐近线方程（不用证明）；

（2）试判断双曲线和双曲线是否为共轭双曲线？请加以证明。

（3）求值：。

正确答案

见解析。

解析

（1）的渐近线方程都是：和。…………3分

（2）双曲线是共轭双曲线。…………4分

证明如下：对于，实轴和虚轴所在的直线是和的角平分线所

的直线，所以的实轴所在直线为，

虚轴所在直线为，…………6分

实轴和的交点到原点的距离的平方。

又，所以从而得；…………8分

同理对于，实轴所在直线为，

虚轴所在直线为，

实轴和的交点到原点的距离的平方

，所以，从而得。

综上所述，双曲线是共轭双曲线。…………10分

（3）由（2）易得，，

所以=1 。…………13分

知识点

双曲线的几何性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

设是定义在上的增函数，且对于任意的都有恒成立. 如果实数满足不等式组，那么的取值范围是

A(3, 7)

B(9, 25)

C(13, 49)

D(9, 49)

正确答案

C

解析

由得，

又，∴，∴.

∵是上的增函数，∴＜，

∴

又，结合图象知为半圆内的点到原点的距离，故，∴

知识点

双曲线的几何性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

是双曲线的右焦点，过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于点，若，则的离心率是（）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

略

知识点

向量在几何中的应用双曲线的几何性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

离心率为的椭圆与双曲线有相同的焦点，且椭圆长轴的端点、短轴的端点、焦点到双曲线的一条渐近线的距离依次构成等差数列，则双曲线的离心率等于

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解析：

设椭圆：，双曲线：，则，，，椭圆顶点、、焦点到双曲线渐近线的距离依次为、、，从而，所以，即，所以，，，选C。

知识点

等差数列的性质及应用椭圆的几何性质双曲线的几何性质

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

15．已知双曲线的右焦点为F，O为坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于O，A两点，若△AOF的面积为b2，则双曲线的离心率等于_________。

正确答案

解析

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知识点

双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：填空题

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填空题 · 4 分

14．设是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且，那么△的面积是（）。

正确答案

16

解析

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知识点

双曲线的几何性质

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

12.在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是________

正确答案

4

解析

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知识点

两点间距离公式的应用双曲线的几何性质

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

12.已知双曲线（）的离心率为2，一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为_________.

正确答案

解析

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知识点

双曲线的几何性质抛物线的标准方程和几何性质

1

题型：填空题

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填空题 · 4 分

11．若双曲线上存在四个不同的点、、、，使四边形为菱形，则的取值范围为（）

正确答案

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知识点

双曲线的几何性质

1

题型：填空题

|

填空题 · 4 分

8．已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐进线方程是（）

正确答案

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知识点

椭圆的几何性质双曲线的几何性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

10. 函数的图象与方程的曲线有着密切的联系，如把抛物线的图象绕原点沿逆时针方向旋转就得到函数的图象.若把双曲线绕原点按逆时针方向旋转一定角度后，能得到某一个函数的图象，则旋转角可以是（）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

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双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

12.已知双曲线的左右焦点分别是，设是双曲线右支上一点，在上的投影的大小恰好为，且它们的夹角的余弦值为，则双曲线的渐近线方程为__________．

正确答案

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平面向量数量积的运算数量积表示两个向量的夹角双曲线的几何性质

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