热门试卷

解析：（1）点M是线段的中点，是的中位线，又

     解得：

椭圆的标准方程为：

（2）圆O与直线相切，则，即

由    消去得

直线与椭圆交于两个不同点

设   则

，  

=

设   则   ，   

关于在上单调递增，     

( 1）由已知，解得 ,方程为.·······················4分

（2）当时，显然，由椭圆对称性，只研究即可，

设（），于是······

（当且仅当时取等号）·

（3） 设,则;

1)当直线的斜率存在时,设方程为,

由 得: ；

有   ①

由以为直径的圆经过坐标原点O可得: ；

整理得:   ②

将①式代入②式得: ,

又点到直线的距离

所以

2) 当直线的斜率不存在时,设方程为

联立椭圆方程得: ；

代入得；

,   

综上: 的面积是定值

又的面积也为,所以二者相等

（1）由题意知，且，可得，

故椭圆C的方程为，其“准圆”方程为。    ………………4分

（2）由题意，可设，则有，

又A点坐标为，故，

故

,                    …………………………8分

又，故，

所以的取值范围是。                 …………………………10分

（3）设，则。

当时，，则其中之一斜率不存在，另一斜率为0，显然有。

当时，设过且与椭圆有一个公共点的直线的斜率为，

则的方程为，代入椭圆方程可得

，即，

由，         …………………………13分

可得，其中，

设的斜率分别为，则是上述方程的两个根，

故，即。

综上可知，对于椭圆上的任意点，都有。

（1）解法一：令M为，因为M在抛物线上，故，①

又，则   ②

由①②解得，

椭圆的两个焦点为，，点M在椭圆上，由椭圆定义，得

，又，

椭圆的方程为

解法二：同上求得M，而点M在椭圆上，故有，即

又，即，解得

椭圆的方程为

（2）证明：设，，

由，可得

即

由，可得

即

⑤×⑦得，  ⑥×⑧得

两式相加，得

又点A，B在圆上，，且

即，故点Q总在直线上

方法二：

由，可得，所以

由，可得，所以

所以，所以（*）

当斜率不存在时，由特殊情况得到

当斜率存在时，设直线为

代入（*）得，而，消去，得

而满足方程，所以Q在直线上

（1）∵，∴。

∵，∴。

∵，∴，解得。

椭圆的方程为。

（2）

i)∵，∴，椭圆的方程可化为

       …………①

易知右焦点，据题意有：     ………②

由①，②有：      …………③

设，

∴

ii)显然与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数，使得等式成立。

设，

∵，∴

又点在椭圆上，∴    ……………④

由③有：

则

……………⑤

又在椭圆上，故有    …………⑥

将⑥，⑤代入④可得：。

（1）抛物线的焦点为，准线方程为，

∴       ①

又椭圆截抛物线的准线所得弦长为，

∴  得上交点为，∴     ②

由①代入②得，解得：或（舍去），

从而

∴该椭圆的方程为该椭圆的方程为

（2）∵ 倾斜角为的直线过点，

∴ 直线的方程为，即，

由（1）知椭圆的另一个焦点为，设与关于直线对称，则得，解得，即，

又满足，故点在抛物线上。所以抛物线上存在一点，使得与关于直线对称。

（1）由题意解得：，

所求椭圆方程为：--------4分

（2）联立方程组消去得---5分

，

设，由韦达定理得

，。

由点在直线上，得，                        ……7分

所以。

点到直线的距离。

三角形的面积，…10分

设（），

或或

当时，；当时，；

当时，；当时，

又

所以当时，的面积取最大值，                   ……12分

（1）依题意可设椭圆方程为  ，则右焦点，

由题设，解得，

故所求椭圆的方程为。

设，P为弦MN的中点，

由  得 ，

直线与椭圆相交，

 ，①  

，从而，

 ，又，则：

 ，即 ，   ②

把②代入①得  ，解得 ， 

由②得，解得。

综上求得的取值范围是。    

（1）因为椭圆的焦点在轴上，

所以设椭圆的方程是.        …………………………  1分

因为短轴的一个端点到下焦点的距离是，离心率为

所以，        所以

所以椭圆的标准方程是                 …………………………  4分

（2）由（1）知，，且直线的斜率存在，设其方程为：，

由   得     …………………………  6分

设，，

所以，.                  …………………………  7分

所以面积（，异号）.

所以

   …………………………  9分

      …………………………  12分

当且仅当，即时，有最大值是

所以当时，面积的最大值是

…………………………  13分

（1）由， ，得，，

所以椭圆方程是：-----------------4分

（2）设EF：（）代入，得，

设，，由，得。

由，--------------6分

得，，（舍去），（没舍去扣1分）

直线的方程为：即--------------------9分

（3）将代入，得（*）

记，，PQ为直径的圆过，则，即，又，，得。

解得，此时（*）方程，

存在，满足题设条件。-----------------14分

解：（1）由题意，可得a=2，e==，可得c=，∴  b2=a2﹣c2=1，

因此，椭圆的方程为，﹣

（2）设C（x，y），P（x0，y0），由题意得，即，

又，代入得，即x2+y2=4。

即动点C的轨迹E的方程为x2+y2=4。

（3）设C（m，n），点R的坐标为（2，t），

∵A、C、R三点共线，∴∥，

而=（m+2，n），=（4，t），则4n=t（m+2），

∴t=，可得点R的坐标为（2，），点D的坐标为（2，），

∴直线CD的斜率为k==，

而m2+n2=4，∴﹣n2=m2﹣4，代入上式可得k==﹣，

∴直线CD的方程为y﹣n=﹣（x﹣m），化简得mx+ny﹣4=0，

∴圆心O到直线CD的距离d===2=r，

因此，直线CD与圆O相切，即CD与曲线E相切。