热门试卷

（1）设点的坐标分别为，

则

故，可得，    …………………2分

所以，…………………4分

故，

所以椭圆的方程为，　 　　　    　……………………………6分

（2）设的坐标分别为，则，

又，可得，即，  …………………8分

又圆的圆心为半径为，

故圆的方程为，

即，

也就是，                 ……………………11分

令，可得或2，

故圆必过定点和，　　　　　　　　     　……………………13分

（另法：（1）中也可以直接将点坐标代入椭圆方程来进行求解；（2）中可利用圆C直径的两端点直接写出圆的方程）

（1）解法一:由题意得,,解得,

所以椭圆的方程为.

解法二:椭圆的两个交点分别为,

由椭圆的定义可得,所以,,

所以椭圆的方程为.

（2）解法一:由（1）可知,设,

直线:,令,得;

直线:,令,得;  设圆的圆心为,

则,

而,所以,所以,

所以,即线段的长度为定值.

解法二:由（1）可知,设,

直线:,令,得;

直线:,令,得;

则,而,所以,

所以,由切割线定理得

所以,即线段的长度为定值.

(1)解法1：由消去得     

∵直线与抛物线只有一个公共点，

，解得              

∴直线的方程为                     

解法2：设直线与抛物线的公共点坐标为

由，得

∴直线的斜率                        

依题意得，解得                  

把代入抛物线的方程，得

∵点在直线上，

解得                     

∴直线的方程为               

(2)解法l：∵抛物线的焦点为

依题意知椭圆的两个焦点的坐标为         

设点关于直线的对称点为

则     …

解得

∴点    

∴直线与直线的交点为           

由椭圆的定义及平面几何知识得：

椭圆的长轴长

其中当点P与点重合时，上面不等式取等号。

故当时，                 

此时椭圆的方程为，点P的坐标为        

解法2：∵抛物线的焦点为

依题意知椭圆的两个焦点的坐标为              …

设椭圆的方程为             

由消去

得(*)       

    由

得                              

解得

当时，此时椭圆的方程为      

把代入方程(*)，解得            

∴点P的坐标为                          

（1）依题意得，

解得，∴

椭圆的方程为

（2）解法1：设点的坐标为.

当重合时，点坐标为和点，

当不重合时，由，得.

由及椭圆的定义，，

所以为线段的垂直平分线，为线段的中点

在中，，

所以有.

综上所述，点的轨迹的方程是.

解法2：设点的坐标为.

当重合时，点坐标为和点，

当不重合时，由，得.

由及椭圆的定义，，

所以为线段的垂直平分线，为线段的中点

设点的坐标为，则，

因此①

由,得,        ②

将代入，可得.

综上所述，点的轨迹的方程式.③

（3）   直线与相离，

过直线上任意一点可作圆的两条切线

所以

所以四点都在以为直径的圆上，

其方程④

为两圆的公共弦，③-④得：的方程为

显然无论为何值，直线经过定点.

（1）由知，，设，因在抛物线上，故

，又，则，得，而点在椭圆上，有，又，所以椭圆方程为（5分）

（2）设，由,得，即  ①     ②

由,得  ③    ,  ④ --------  （7分）

①③，得 , ②④,得 -----（9分）

两式相加得 ,又点在圆

上,由（1）知，即在圆上,且,

,即,点总在定直线上，---（12分）

解析：（1）因为椭圆C的一个焦点为，

所以，则椭圆C的方程为，

因为，所以，解得。

故点M的坐标为(1，4)。

因为M(1，4)在椭圆上，所以，得，

解得或（不合题意，舍去），则。

所以椭圆C的方程为。

（2）假设存在符合题意的直线与椭圆C相交于，两点，其方程为（因为直线OM的斜率，

由消去，化简得。

进而得到，。

因为直线与椭圆C相交于A，B两点，

所以，

化简，得，解得。

因为以线段AB为直径的圆恰好经过原点，

所以，所以。

又，

，

解得。

由于，所以符合题意的直线存在，且所求的直线的方程为或。

（1）依题意，，，所以，，，所以椭圆的离心率。

（2），当且仅当时，，当且仅当是直线与椭圆的交点时，，，所以的取值范围是。

设，由得，

由，解得或，

所求点为和

解析：（1）当三角形面积最大时，为正三角形，所以

，椭圆E的方程为

（2）①由，得方程

由直线与椭圆相切得

求得，，中点到轴距离

。

所以圆与轴相交。

（2）②假设平面内存在定点满足条件，由对称性知点在轴上，设点坐标为， 。

由得

所以，即

所以定点为。

解析：（1）由，得…………………………………..2分

a2=2,b2=1

所以，椭圆方程为.        ………………………………………..4分

（2）由 ，得(m2+2)y2+2my-1=0,

设P(x1,y1),Q(x2,y2)，由条件可知，点.

=|FT||y1-y2|==…..6分

令t=，则t，

则==，当且仅当t=，即m=0

(此时PQ垂直于x轴)时等号成立，所以的最大值是.     …………..10分

（3）与共线 ………………………………………………………………..11分

(x1,-y1)，=(x2-x1,y2+y1)，=(x2-2,y2)  ……………………………..12分

由(x2-x1)y2-(x2-2)(y1+y2)

=-x1y2-x2y1+2(y1+y2)[来源:学科网ZXXK]

=-(my1+1)y2-(my2+1)y1+2(y1+y2)

=-2my1y2+(y1+y2)

=-2m+

=0，所以，与共线

（1）解：由，得，再由，得----2分

由题意可知，解方程组 得：---5分

所以椭圆的方程为：                    --------6分

（2）解：由（1）可知A（-2,0）。设B点的坐标为（x1,,y1）,直线l的斜率为k，则直线l的方程为,                              --------7分

于是A,B两点的坐标满足方程组由方程组消去y并整理，

得            --------8分

由得--------9分

设线段AB是中点为M，则M的坐标为以下分两种情况：

①当k=0时，点B的坐标为（2,0）。线段AB的垂直平分线为y轴，于是

由得------11分

②当k时，线段AB的垂直平分线方程为

令x=0，解得  由

整理得---13分

综上。--------14分

（1）由已知，椭圆方程可设为

由题意得。

∴所求椭圆方程为………………3分

（2）右焦点，直线的方程为。

设，

由      得  ，解得 。

∴ 。          ………………7分

（3）假设存在点满足条件,使得以为邻边的平行四边形是

菱形，因为直线与轴不垂直，

所以设直线的方程为，

由  可得。

由恒成立，

∴，………………9分

设线段PQ的中点为，

则…………10分

∵以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形，

∴MN⊥PQ  ∴KMN·KPQ

即：   ………………12分

  ………………14分

（1）设椭圆的左焦点，由得，又，即且，所以，

则所求的椭圆的方程为；椭圆的“准圆”方程为     .

（2）证明：①当弦轴时，交点关于轴对称，又则，可设，得，此时原点到弦的距离；

②当弦不垂直于轴时，设直线的方程为，且与椭圆的交点，

联列方程组   代入消元得：

由可得

由得即

，   所以

此时成立，

则原点到弦的距离

综上得原点到弦的距离为，则，因此弦的长为定值。

（3） 选择① 即

作四条直线围成四边形为以为顶点的“准圆”的内接矩形，记为，由椭圆性质可知：椭圆完全落在矩形所围成的区域内(包括边界)。

选择② 即

解法一：存在这样的矩形，设“准圆”与坐标轴的交点分别为，顺次连结这四点得到矩形，下面证明椭圆完全落在矩形所围成的区域内(包括边界)。

不妨设椭圆上的点，

线段上的点，则

因为

所以 ，即点在点的下方。

根据对称性可知，椭圆完全落在矩形所围成的区域内(包括边界)。

解法二：存在这样的矩形，过点作直线,分别与椭圆有且只有一个公共点，并与“准圆”分别交于点、，延长交“准圆”于点，连接,四边形就是所求的矩形。

依条件过点且与椭圆C有且只有一个公共点的直线的斜率存在，设其方程为，将代入椭圆的方程消去得到，因为直线与椭圆C有且只有一个公共点，所以，解得.则直线，因为点在准圆上，所以是准圆的直径，又因为也是准圆的直径，所以四边形为矩形。根据对称性可知，椭圆完全落在矩形所围成的区域内(包括边界)。

[

选择③

射线与椭圆的“准圆”交于点， 作图方法：过点作直线，使得与椭圆都只有一个公共点，并与“准圆”分别交于点、，延长线段交“准圆”于点，连接，四边形就是所求的矩形。

证明：易知过点且与椭圆只有一个交点的直线不垂直于轴，

设直线方程为，联列方程组，代入消元整理得：

因为只有一个公共点，所以，即. 直线的斜率是关于的方程的两个根，所以，得，即

因为点在“准圆”上，所以为“准圆”的直径，得到

同理，由于也是直径，故.所以四边形为矩形；

因为都与椭圆只有一个公共点，根据对称性（与、与、椭圆、“准圆”都是关于原点对称），得:也都与椭圆只有一个公共点。

综上所述：存在满足条件的矩形且四边形就是所求的矩形。

（1）由题意得，故，（1分）

因为，所以，，（3分）

所以所求的椭圆方程为，（4分）

（2）依题意，直线AS的斜率存在，且，

故可设直线AS的方程为，从而，

由得，（6分）

设，则，得，从而，

即，（8分）

又由B(2，0)可得直线SB的方程为，

化简得，

由得，所以，

故，（11分）

又因为，所以，

当且仅当，即时等号成立，

所以时，线段MN的长度取最小值，（13分）

（1）因为椭圆C的离心率，所以，即，（4分）

因为抛物线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点，

所以，所以，，所以椭圆C的方程为，（6分）

(2)(i)当直线的斜率不存在时。

因为直线与圆M相切，故其中的一条切线方程为。

由不妨设，，

则以AB为直径的圆的方程为，（6分）

(ii)当直线的斜率为零时。

因为直线与圆M相切，所以其中的一条切线方程为。

由不妨设，，

则以AB为直径的圆的方程为。

显然以上两圆都经过点O(0，0)，（8分）

(iii)当直线的斜率存在且不为零时。

设直线的方程为。

由消去，得，

所以设，，则，。

所以。

所以，①（11分）

因为直线和圆M相切，所以圆心到直线的距离，

整理，得，  ②

将②代入①，得，显然以AB为直径的圆经过定点O(0，0)

综上可知，以AB为直径的圆过定点(0，0)，（13分）