圆锥曲线与方程_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

20. 已知F（，0）为抛物线（p＞0）的焦点，点N（，）（＞0）为其上一点，点M与点N关于x轴对称，直线与抛物线交于异于M，N的A，B两点，且|NF|=，。

（Ⅰ）求抛物线方程和N点坐标；

（Ⅱ）判断直线中，是否存在使得面积最小的直线，若存在，求出直线的方程和面积的最小值；若不存在，说明理由．

正确答案

见解析

解析

（Ⅰ）由题意，则，

故抛物线方程为。

由|NF|=，则。

∵，

∴，

所以N（2,2）。

（Ⅱ）由题意知直线的斜率不为0，则可设直线的方程为。

联立方程组，得。

设两个交点A（，），B（，）（≠±2，≠±2），则

由，整理得

。

此时，恒成立。

故直线的方程可化为，从而直线过定点E（3，-2）。

因为M（2，-2），

所以M,E所在直线平行x轴，

所以△MAB的面积当t=-2时有最小值为，此时直线的方程为。

考查方向

抛物线的性质与特征，圆锥曲线中的最值问题

解题思路

建立适当的坐标系，利用直线斜率之间的关系建立方程，进而求解，与抛物线联立成方程组，整理可得。

易错点

计算能力弱，找不到面积最小时候的情况

知识点

抛物线的标准方程和几何性质圆锥曲线中的范围、最值问题圆锥曲线中的探索性问题

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

15.已知抛物线上一点到焦点的距离为5，则的面积为　　　　　　．

正确答案

2

解析

由抛物线定义，，

所以，

所以，的面积．

应填2．

考查方向

本题主要考查抛物线的定义及抛物线的标准方程等知识，难度不大，考查数形结合思想和运算能力。

解题思路

本题主要考查抛物线的定义及抛物线的标准方程等知识，

解题步骤如下：

由抛物线定义求出P点坐标；

由三角形面积公式，求出结果。

易错点

不能根据定义正确求出P点坐标。

知识点

抛物线的定义及应用抛物线的标准方程和几何性质

1

题型：填空题

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填空题 · 4 分

5．抛物线（）上的动点到焦点的距离的最小值为，则_________．

正确答案

解析

知识点

抛物线的标准方程和几何性质

1

题型：单选题

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单选题 · 3 分

5. A（，1）为抛物线x2=2py(p>0)上一点，则A到其焦点F的距离为

A

B+

C2

D+1

正确答案

A

解析

将A（，1）代入抛物线x2=2py(p>0)，求得p=1，因为抛物线焦点在y轴上，所以A到其焦点F的距离为，故选A。

考查方向

本题主要考查了抛物线方程及点到焦点的距离。

解题思路

线将A点坐标代入抛物线x2=2py(p>0)，求得p值，再结合点到焦点的距离公式求得。

易错点

由抛物线的标准方程没搞清焦点位置，以至于点到焦点的距离公式用错。

知识点

抛物线的标准方程和几何性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

6．已知双曲线与抛物线的一个交点为，为抛物线的焦点，若，则双曲线的渐近线方程（）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

因为P在抛物线上，,

所以满足，

所以，

解得,因为点P在双曲线上，

将P点坐标带入，可得m=3,

所以渐近线方程为，

所以选C.

考查方向

双曲线的性质抛物线的性质

解题思路

以PF等于5为突破口，建立方程，求出m的值，进而求出双曲线的渐近线方程

易错点

建立方程后，解方程错误

知识点

双曲线的几何性质抛物线的标准方程和几何性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

6.如果，，…，是抛物线：上的点，它们的横坐标依次为，，…，，是抛物线的焦点，若，则

A

B

C

D

正确答案

A

解析

由抛物线方程知p=2，结合焦半径公式|PF|=，=，故选A。

考查方向

本题主要考查了抛物线的性质及焦半径公式，在近几年的各省高考题经常出现，抛物线常与直线结合出题，即圆锥曲线与直线的位置关系。

解题思路

因为|PF|=，所以直接利用抛物线的焦半径公式就可求得。

易错点

1,由抛物线标准方程求不出P;

2、不能正确掌握抛物线的焦半径公式。

知识点

抛物线的标准方程和几何性质抛物线焦点弦的性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

9．已知F是抛物线y2=4x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OA⊥OB（其中O为坐标原点），则△AOB与△AOF面积之和的最小值是（　　）

A16

B8

C8

D18

正确答案

C

解析

设直线AB的方程为：x=ty+m，

点A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB与x轴的交点为M（m，0），

x=ty+m代入y2=4x，可得y2﹣4ty﹣4m=0，

根据韦达定理有y1•y2=﹣4m，

∵OA⊥OB， ∴•=0，

∴x1•x2+y1•y2=0，从而（y1•y2）2+y1•y2=0，

∵点A，B位于x轴的两侧，

∴y1•y2=﹣16，故m=4．

不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，

又F（1，0），

∴S△ABO+S△AFO=×4×（y1﹣y2）+×y1=y1+≥8，

当且仅当y1=，即y1=时，取“=”号，

∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是8，

故选：C．

考查方向

本题主要考查抛物线的定义及直线与抛物线综合应用，也在题目中考查了向量在圆锥曲线中的应用等知识，意在考查考生的运算求解能力和分析解决问题能力，在近几年的各省高考题出现的频率较高，常与向量，基本不等式等知识点交汇处命题，较难。

解题思路

1、先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及•=0，得到y1•y2。2、最后将面积之和表示出来，得到最值问题。

易错点

1、设直线方程时未考虑到斜率是否存在而出错。2、再把S△ABO+S△AFO转化成坐标形式时容易出错。

知识点

抛物线的标准方程和几何性质圆锥曲线中的范围、最值问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

10.已知抛物线，直线（k为常数）与抛物线交于A,B两个不同点，若在抛物线上存在一点P(不与A,B重合)，满足，则实数k的取值范围为

A

B

C

D

正确答案

B

解析

抛物线与直线y=k联立确定AB两点的坐标

设动点

则

考查方向

本题主要考察了抛物线的定义及其标准方程，考察了抛物线的几何意义，考察了向量的数量积运算，考察了向量的坐标运算，考察了存在性问题求解，该题多知识点交汇，题目较难，解题多注意细节

解题思路

本题属于多知识迁移题，需要对知识进行有效转换

（1）确定AB两点的坐标以及动点

（2）向量

（3）利用向量的数量积运算得出关于y的方程，方程有正解

易错点

该题主要易错于题意理解错误，不能有效进行知识的转换

知识点

量积判断两个平面向量的垂直关系抛物线的标准方程和几何性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

2．抛物线的准线与轴的交点的坐标为（）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

抛物线的准线方程为x=-1,与轴的交点的坐标为

考查方向

本题主要考查了抛物线的几何性质，属于简单题，是高考的热点，解决此类题的关键是记住抛物线的准线方程。

易错点

本题易在记忆抛物线的准线方程出错。

知识点

抛物线的标准方程和几何性质

1

题型：填空题

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填空题 · 4 分

13．抛物线的顶点为原点，焦点在轴正半轴，过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于点，若中点的横坐标为3，则抛物线的方程为_______________．

正确答案

解析

设抛物线方程为：，

则

∵直线过焦点且倾斜角为，

∴可设直线方程为：设点

联立直线与抛物线方程，

消整理得由韦达定理可知

又∵中点的横坐标为3，

∴，

∴抛物线方程为．

考查方向

本题考查抛物线的简单性质，考查数形结合能力，注意解题方法的积累，属于中档题

解题思路

通过设抛物线的方程为，

可得直线的方程为，

联立直线方程和抛物线方程，

消可得并结合韦达定理即中点坐标公式计算即得结论．

易错点

无

知识点

抛物线的标准方程和几何性质抛物线焦点弦的性质

1

题型：填空题

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填空题 · 4 分

抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的面积等于．

正确答案

解析

根据抛物线的准线的定义，得抛物线的准线方程是，再根据双曲线的两条渐近线的定义，得出双曲线的渐近线的方程是，求出，则三角形的面积为.

考查方向

本题主要考查了抛物线准线的定义与双曲线的渐近线的定义的综合应用

易错点

容易记错抛物线准线的定义

知识点

双曲线的几何性质抛物线的标准方程和几何性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

7．设双曲线的一条渐近线为y＝－2x，且一个焦点与抛物线y＝的焦点相

同，则此双曲线的方程为

A

B

C

D

正确答案

D

解析

由c=1,且焦点在y轴上,得a=2b。A选项不正确，B选项不正确，C选项不正确，所以选D选项。

考查方向

本题主要考查双曲线的标准方程

解题思路

1、求出c；

2、利用a,b,c关系求a,b，即可得到结果。A选项不正确，B选项不正确，C选项不正确，所以选D选项。

易错点

本题易在判断焦点位置时发生错误。

知识点

双曲线的定义及标准方程双曲线的几何性质抛物线的标准方程和几何性质

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

20．已知抛物线的焦点，其准线与轴的交点为，过点的直线与交于两点，点关于轴的对称点为．

（Ⅰ）证明：点在直线上；

（Ⅱ）设，求内切圆的方程．

正确答案

见解析

解析

试题分析：本题属于圆锥曲线中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）直接按照步骤来求（2）要注意对参数的讨论．

（Ⅰ）由题可知，抛物线的方程为

则可设直线的方程为，，

故整理得，故

则直线的方程为即

令，得，所以在直线上．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，所以，

又，

故，

则，故直线的方程为或

，

故直线的方程或，又为的平分线，

故可设圆心，到直线及的距离分别为

由

得或（舍去）．故圆的半径为

所以圆的方程为．

考查方向

本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系及综合应用，属于高考中的高频考点．

解题思路

本题考查圆锥曲线与直线的位置关系，解题步骤如下：

1、利用e及对称性求a,b。

2、联立直线与椭圆方程求解。

易错点

第二问中表示直线斜率时容易出错。

知识点

抛物线的标准方程和几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 4 分

如图，已知抛物线及两点和，其中.过，分别作轴的垂线，交抛物线于，两点，直线与轴交于点，此时就称，确定了.依此类推，可由，确定，.记，.

给出下列三个结论：

① 数列是递减数列；

② 对任意，；

③ 若，，则.其中，

所有正确结论的序号是_____．

正确答案

① ② ③

解析

由题意，知数列满足，则数列是递减数列，由抛物线的性质，可知对任意，，根据抛物线的定义，可得，，则.

考查方向

本题主要考查抛物线的性质与数列的综合应用

易错点

抛物线性质与数列的结合处

知识点

数列与解析几何的综合抛物线的标准方程和几何性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

7.已知双曲线的一个实轴端点恰与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于2，则该双曲线的方程为

A

B

C

D

正确答案

D

解析

双曲线的左焦点为(-2,0),即c=2，所以a=1,b2=3,所以选D

考查方向

本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质,属于简单题

解题思路

先求出a,b的值,进而求解问题

易错点

双曲线的标准方程等基础概念

知识点

双曲线的定义及标准方程双曲线的几何性质抛物线的标准方程和几何性质

热门试卷

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

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正确答案