圆锥曲线与方程_章节学习

1

题型：简答题

|

简答题 · 12 分

已知抛物线（）的焦点为，过点作直线交抛物线于，两点．椭圆的中心在原点，焦点在轴上，点是它的一个顶点，且其离心率．

23.分别求抛物线和椭圆的方程；

24.经过，两点分别作抛物线的切线，，切线与相交于点．证明：．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

由已知抛物线的焦点为可得抛物线的方程为．

设椭圆的方程为，半焦距为．由已知可得：

,解得．所以椭圆的方程为：．

考查方向

抛物线的性质与特征；椭圆的方程与椭圆的性质与特征

解题思路

第一问根据离心率及焦点求抛物线C和椭圆E的方程，第二问利用平面向量的数量积的坐标公式证明线段和线段垂直。

易错点

计算错误，利用平面向量证明线段垂直

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

显然直线的斜率存在，否则直线与抛物线只有一个交点，不合题意，

故可设直线的方程为，

由, 消去并整理得 ∴ ．

∵抛物线的方程为，求导得，

∴过抛物线上两点的切线方程分别是，,

即，，

解得两条切线的交点的坐标为，即，

,

∴．

考查方向

抛物线的性质与特征；椭圆的方程与椭圆的性质与特征

解题思路

第一问根据离心率及焦点求抛物线C和椭圆E的方程，第二问利用平面向量的数量积的坐标公式证明线段和线段垂直。

易错点

计算错误，利用平面向量证明线段垂直

1

题型：填空题

|

填空题 · 5 分

10．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2px(p＞0) 的焦点为F，双曲线＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别与抛物线交于A，B两点(A，B异于坐标原点O)．若直线AB恰好过点F，则双曲线的渐近线方程是 .

正确答案

y＝±2x

解析

抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F；

双曲线＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为；

代入抛物线的方程，可得A， B

由A，B，F三点共线，可得：，即有b=2a，∴双曲线的渐近线方程是y＝±2x

考查方向

本题主要考查了抛物线和双曲线的几何性质

解题思路

求得抛物线的焦点，双曲线的渐近线方程，代入抛物线的方程可得A，B，再由A，B，

F共线，可得，即有b=2a，进而得到双曲线的渐近线方程．

易错点

混淆抛物线和双曲线的几何性质，同时计算容易出现错误

知识点

双曲线的几何性质抛物线的定义及应用抛物线的标准方程和几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

|

单选题 · 5 分

5.如图，设抛物线的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在轴上，则与的面积之比是（）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

试题分析：如图作出抛物线的准线，经过A、B分别向准线作垂线，利用三角形相似

和抛物线的性质，求出三角形面积的比值。

作抛物线的准线x＝－1，经过A、B分别向准线作垂线，垂足分别为E，D，与y轴分别

交于N，M，由抛物线的定义可知|BF|＝|BD|，|AF|＝|AE，|BM||=|BD|－1＝|BF|－1，

|AN||=|AE|－1＝|AF|－1，∴，故选A.

考查方向

本题考查了抛物线的定义，三角形的面积，属于基础题．

解题思路

作出抛物线的准线，经过A、B分别向准线作垂线，利用三角形的面积公

式，把三角形面积的比值利用三角形相似进行转化．

易错点

注意正确求出抛物线的准线.

知识点

抛物线的标准方程和几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

|

单选题 · 5 分

7.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为（）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

利用抛物线的性质得出焦点为在y轴上，即

所以双曲线方程为 ∴渐近线为选C

考查方向

本题考察了双曲线的定义及标准方程，考察了抛物线的定义及方程，考察了双曲线的几何性质，属于容易题

解题思路

1、利用抛物线的性质得出焦点为在y轴上

2、根据双曲线的几何性质得出

3、根据双曲线的几何性质直接写出渐近线

易错点

本题主要易错于焦点位置的判断以及m的含义

知识点

双曲线的几何性质抛物线的标准方程和几何性质

1

题型：单选题

|

单选题 · 5 分

6.已知点及抛物线上一动点，则的最小值是（）

A

B1

C2

D3

正确答案

C

解析

如图：注意点Q的位置

根据题意得知

选C

考查方向

本题重点考察了抛物线的标准方程和几何性质，考察了抛物线焦点弦的性质，考察了不等式的应用，借助于数形结合，该题属于简单题

解题思路

1）把转化为点Q到准线的距离问题，

2）利用不等式的性质直接得出结果

易错点

主要易错于的转换

知识点

抛物线的标准方程和几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

|

单选题 · 5 分

10.设直线l与抛物线相交于A，B两点，与圆相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

不妨设直线，带人抛物线方程有：，则，又中点，则，即

代入，可得即，又由圆心到直线的距离等于半径，

可得，由可得故选D选项。

考查方向

本题主要考察直线与圆、圆锥曲线的位置关系等知识，意在考察考生的树形结合能力和运算推理能力。

解题思路

先设直线方程后代人消元得到判别式和中点，然后根据得到代人得到，最后利用圆和直线相切得到后即可得到答案。

易错点

1.不会转化题中给出的条件这样的直线l恰有4条；

找不到r和t之间的关系导致没有思路。

知识点

抛物线的定义及应用抛物线的标准方程和几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：填空题

|

填空题 · 5 分

14．若抛物线C:上只有两点到直线l:的距离为1，则实数k的取值范围是．

正确答案

或或

解析

直线过定点，该直线存在斜率，抛物线的顶点为，抛物线的顶点到直线的距离一定小于1，所以抛物线上一定存在点到直线的距离，设与直线平行，令与抛物线相切，联立，得，所以，当时，，满足题意；当时，，直线，令直线与的距离为1，即，解得，所以满足条件的，即实数k的取值范围是或或.

考查方向

本题主要考查了直线与抛物线的位置关系.

解题思路

1）根据直线过定点和抛物线的方程判定位置关系；

2）设出与直线平行且与抛物线相切的直线；

3）利用点到直线的距离进行求解.

易错点

本题易在讨论时出现错误，易忽视“时的特殊情形”.

知识点

抛物线的定义及应用抛物线的标准方程和几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

|

简答题 · 14 分

如图所示，椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的离心率为，x轴被曲线C2：y＝x2－b截得的线段长等于C1的短轴长．C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A，B，直线MA，MB分别与C1相交于点D，E.

24.求C1，C2的方程

25.求证：MA⊥MB；

26. 记△MAB，△MDE的面积分别为S1，S2，若＝λ，求λ的取值范围．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

C1的方程：＋y2＝1；C2的方程：y＝x2－1

解析

由题意，知＝，所以a2＝2b2. ……1分

又2＝2b，得b＝1. ……2分

所以曲线C2的方程：y＝x2－1，椭圆C1的方程：＋y2＝1. ……3分

考查方向

主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到抛物线的方程，椭圆的方程，直线与圆锥曲线的相关知识. 本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求.

解题思路

根据题意直接列出a,b,c方程, 可求出两条曲线的方程

易错点

易在运算中出错，在转化直线与圆锥曲线关系过程中，易在切入点出错

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

略

解析

证明　设直线AB：y＝kx，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，知M(0，－1)．

则⇒x2－kx－1＝0， ……4分

则x1·x2＝－1，x1＋x2＝k，

＝(x1，y1＋1)·(x2，y2＋1)＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝－(1＋k2)＋k2＋1＝0，

所以MA⊥MB. ……7分

考查方向

主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到抛物线的方程，椭圆的方程，直线与圆锥曲线的相关知识. 本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求.

解题思路

设直线方程、交点坐标. 通过向量的数量积等于零, 证明两条线互相垂直

易错点

易在运算中出错，在转化直线与圆锥曲线关系过程中，易在切入点出错

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

[，＋∞)

解析

解:　设直线MA的方程：y＝k1x－1，直线MB的方程：y＝k2x－1，……8分

由25题知k1k2＝－1，M(0，－1)，

由解得或 ……9分

所以A(k1，k－1)．同理，可得B(k2，k－1)．……10分

故S1＝|MA|·|MB|＝·|k1||k2|.

由解得或

所以D(，)．同理，可得E(，)．……11分

故S2＝|MD|·|ME|＝·，

＝λ＝＝≥，……13分

则λ的取值范围是[，＋∞)．……14分

考查方向

主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到抛物线的方程，椭圆的方程，直线与圆锥曲线的相关知识. 本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求.

解题思路

设MA,MB的方程，通过与抛物线，椭圆联立方程组，解出A,B,D,E的坐标，然后分别用表示面积，把表示成关于的关系式，最后用均值不等式求解λ的取值范围．

易错点

易在运算中出错，在转化直线与圆锥曲线关系过程中，易在切入点出错

1

题型：简答题

|

简答题 · 12 分

已知抛物线的焦点为，直线过点交抛物线于两点，且以为直径的圆与直线相切于点.

23.求的方程；

24.若圆与直线相切于点，求直线的方程和圆的方程.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）抛物线的方程为；

解析

试题分析：本题属于抛物线、直线、圆的方程及位置关系考查题型，意在考查考生的分析问题、解决问题的能力及运算能力。

（Ⅰ）设，则，

又∵以为直径的圆与直线相切，

∴，故，

∴抛物线的方程为；

考查方向

本题考查了抛物线的定义及直线与圆的位置关系，考查考生的计算能力和逻辑推理能力。

解题思路

（1）直线过点交抛物线于两点，且以为直径的圆与直线相切于点知，从而得出p的值

（2）通过直线与抛物线相交于A,B，得到以AB为直径的圆的圆心坐标，再通过求出直线方程和圆的方程。

易错点

以为直径的圆与直线相切的转化易推理出错

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）直线的方程为，即

圆的方程为

解析

试题分析：本题属于抛物线、直线、圆的方程及位置关系考查题型，意在考查考生的分析问题、解决问题的能力及运算能力。

（Ⅱ）设直线的方程为，代入中，

化简整理得，

∴，

∴圆心的坐标为，

∵圆与直线相切于点，

∴，

∴，解得，

此时直线的方程为，即，

圆心，半径，

圆的方程为.

考查方向

本题考查了抛物线的定义及直线与圆的位置关系，考查考生的计算能力和逻辑推理能力。

解题思路

（1）直线过点交抛物线于两点，且以为直径的圆与直线相切于点知，从而得出p的值

（2）通过直线与抛物线相交于A,B，得到以AB为直径的圆的圆心坐标，再通过求出直线方程和圆的方程。

易错点

以为直径的圆与直线相切的转化易推理出错

1

题型：单选题

|

单选题 · 5 分

4.已知抛物线，过焦点的直线交抛物线于两点（点在第一象限），若直线的倾斜角为，则等于（）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

考查方向

考查抛物线的性质，抛物线的焦半径公式

解题思路

根据题意, 直接用焦半径表示AF与BF的长度.

易错点

忽略直线过焦点，导致AF与BF的长度无法用3表示, 忽略焦点的位置，容易把焦半径公式写成

知识点

抛物线的定义及应用抛物线的标准方程和几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

|

单选题 · 5 分

11.已知是抛物线的焦点，为抛物线上的动点，且的坐标为，则

的最小值是（）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

由题意知，，设，由抛物线的定义知，，所以，当时，，因为，所以，当x=0时，，综上所述，的最小值是，故选C选项。

考查方向

本题主要考查圆锥曲线的定义、基本不等式求最值等知识，意在考查考生的转化能力和构建函数的意识。

解题思路

1.先根据题意构造函数，2.利用基本不等式求函数的最值。

易错点

1.不会构建函数；2.不会求的最值。

知识点

抛物线的标准方程和几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：填空题

|

填空题 · 5 分

14. 已知直线l：y=kx+t号圆：x2 +(y+l)2 =1相切且与抛物线C：x2 =4y交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是____．

正确答案

解析

因为直线与圆相切，所以．又把直线方程代入抛物线方程并整理得，于是由，得或．

考查方向

本题主要考查了直线与圆和抛物线的位置关系，考查考生分析问题和解决问题的能力。

解题思路

先利用直线与圆相切找到k与t之间的关系，再通过直线与抛物线有两个不同的交点求出t的取值范围。

易错点

直线中有两个变量，如何把k转化或者求出。

知识点

抛物线的标准方程和几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

|

简答题 · 13 分

已知点F(0,1)为抛物线的焦点。

24.求抛物线C的方程；

25.点A、B、C是抛物线上三点且,求面积的最大值

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）；

解析

（1）由题意知

考查方向

本题主要考查抛物线的标准准方程，直线与圆锥的关系。

解题思路

1）第一问利用抛物线的定义，可求出，直接得到方程；

2）第二问首先设出三点的坐标，再设出直线与轴交点，进一步求出，根据几何位置关系表示出三角形的面积，再根据基本不等式求出最值及最值成立的条件。

易错点

错位相减法求和计算容易错。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）

解析

（2）令，不妨设直线AB与轴交于点

又因为

从而

令

当时点三点中有两个点重合，所以舍去

当

考查方向

本题主要考查抛物线的标准准方程，直线与圆锥的关系。

解题思路

1）第一问利用抛物线的定义，可求出，直接得到方程；

2）第二问首先设出三点的坐标，再设出直线与轴交点，进一步求出，根据几何位置关系表示出三角形的面积，再根据基本不等式求出最值及最值成立的条件。

易错点

错位相减法求和计算容易错。

1

题型：简答题

|

简答题 · 16 分

已知抛物线，为抛物线上的点，若直线经过点且斜率为，则称直线为点的“特征直线”. 设、为方程（）的两个实根，记.

24.求点的“特征直线”的方程；

25.已知点在抛物线上，点的“特征直线”与双曲线经过二、四象限的渐进线垂直，且与轴的交于点，点为线段上的点. 求证：；

26.已知、是抛物线上异于原点的两个不同的点，点、的“特征直线”分别为、，直线、相交于点，且与轴分别交于点、. 求证：点在线段上的充要条件为（其中为点的横坐标）.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）.；

解析

（1）由题意的斜率为1，

所以点的“特征直线”的方程为.

考查方向

本题主要考查圆锥曲线的的定义、性质、直线与圆锥曲线的位置关系、充要条件等知识，意在考查考生的理解能力，转化与划归的能力。

解题思路

1根据题意直接求出“特征直线”的方程为.

易错点

1.不理解特征直线的定义导致无法入手；2.证明充要条件时不知道应该证明充分性和必要性。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）.；

解析

设点，由于双曲线所求渐进线的斜率为

所以，进而得

线段的方程为

所以满足

所对应方程为：，解得，

因为，所以，进而

考查方向

本题主要考查圆锥曲线的的定义、性质、直线与圆锥曲线的位置关系、充要条件等知识，意在考查考生的理解能力，转化与划归的能力。

解题思路

线根据渐近线方程求出，进而得到点（a,b）满足的方程；

易错点

1.不理解特征直线的定义导致无法入手；2.证明充要条件时不知道应该证明充分性和必要性。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

(3)设，，则、的方程分别为

，，

解、交点可得，，

所对应的方程为：，

得

必要性：因为点在线段上，所以

当时，，得，

所以，进而

① 充分性：由，得，

当时，，得，

当时，得，得，

所以点在线段上.

综上，点在线段上的充要条件为

考查方向

本题主要考查圆锥曲线的的定义、性质、直线与圆锥曲线的位置关系、充要条件等知识，意在考查考生的理解能力，转化与划归的能力。

解题思路

先证明结论的充分性，后证明其必要性。

易错点

1.不理解特征直线的定义导致无法入手；2.证明充要条件时不知道应该证明充分性和必要性。

1

题型：简答题

|

简答题 · 13 分

抛物线C的方程为，过抛物线C上一点P(x0,y0)(x 0≠0)作斜率为k1,k2的两条直线分别交抛物线C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点(P,A,B三点互不相同)，且满足.

24.求抛物线C的焦点坐标和准线方程；

25.设直线AB上一点M，满足，证明线段PM的中点在y轴上；

26.当=1时，若点P的坐标为（1，-1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）焦点坐标为，准线方程为；

解析

（Ⅰ）由抛物线的方程（）得，,

焦点坐标为，准线方程为．

考查方向

本题主要考查抛物线的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系等知识，意在考查考生的运算求解能力和综合解决问题的能力。

解题思路

根据抛物线的几何性质直接得到即可；

易错点

无

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）略；

解析

（Ⅱ）证明：设直线的方程为，直线的方程为．

点和点的坐标是方程组的解．将②式代入①式得，于是，故　③

又点和点的坐标是方程组的解．将⑤式代入④式得．于是，故．

由已知得，，则．　　⑥----------------6分

设点的坐标为，由，则．

将③式和⑥式代入上式得，即．

∴线段的中点在轴上．-

考查方向

本题主要考查抛物线的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系等知识，意在考查考生的运算求解能力和综合解决问题的能力。

解题思路

1

先根据条件求出A,B的横坐标后带入求出M的横坐标即可得到答案；

易错点

不会求解点A,B的坐标，运算量大；

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

（3）

解析

（Ⅲ）因为点在抛物线上，所以，抛物线方程为．

由③式知，代入得．

将代入⑥式得，代入得．

因此，直线、分别与抛物线的交点、的坐标为

，．

于是，，

．

因为钝角且、、三点互不相同，故必有．

求得的取值范围是或．

又点的纵坐标满足，故当时，；当时，．即

考查方向

本题主要考查抛物线的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系等知识，意在考查考生的运算求解能力和综合解决问题的能力。

解题思路

先求出抛物线的方程，然后根据第（2）问求出点A,B的坐标，然后将∠PAB为钝角转化为向量求解即可。

易错点

不会转化题中给出的条件∠PAB为钝角，导致做不出正确答案。

热门试卷

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析