圆锥曲线与方程_章节学习

1

题型：填空题

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填空题 · 4 分

12.过抛物线：的焦点作直线交抛物线于两点，若，则抛物线的顶点到直线的距离为 ▲ ．

正确答案

解析

设为直线的倾斜角，不妨设直线AB的位置如图，由抛物线方程可知，p=4,|AF|= ，所以= 所以sin= ,在三角形OHF中，|OH|=|OF|sin=2= .

考查方向

抛物线的焦半径公式，直线与抛物线的位置关系，数形结合的解题方法，技巧

解题思路

先通过焦半径, 算出直线AB的倾斜角, 再利用数形结合的方法, 计算顶点到直线AB的距离

易错点

忽略AB是焦点弦, 找不到恰当的解题方法

知识点

抛物线的标准方程和几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

14.已知抛物线与经过该抛物线焦点的直线在第一象限的交点为在轴和准线上的投影分别为点，则直线的斜率为

正确答案

2

解析

如图，由题意可得 AF=AC设AF=3m，由AB=2BC，可AB=2m,BC=m，过A作AD垂直x轴于D，设A的横坐标为则3m=1+=2m,所以m=1,A(2,2)，F(1,0),所以直线AF的斜率为2

考查方向

本小题考查直线与抛物线的位置关系

解题思路

画出抛物线简图，用抛物线定义，结合题中的位置关系，数量关系，求出点A(2,2)，既然得到直线AF的斜率为2

易错点

对抛物线定义及性质掌握不熟

知识点

抛物线的标准方程和几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

．

23.求抛物线的方程；

24.已知动圆的圆心在抛物线上，且过定点，若动圆与轴交于、两点，求的最大值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）；

解析

(1) 设抛物线的焦点为，则直线，

由，得 -------------2分

，，，

抛物线的方程为 ------------4分

考查方向

本题考查了抛物线过焦点的弦长的求解及基本不等式的应用

解题思路

联立直线与抛物线方程,求解抛物线过焦点的弦长.

设动圆圆心 ,表示出圆的方程并求出A，B点，用距离公式表示，即可得到结果。

易错点

联立消元计算出错

第2问计算量较大，对学生的运算能力是个严重的考验。

不能正确地两次利用基本不等式求最值。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）

解析

设动圆圆心，则，

且圆，

令，整理得：，

解得：， -------------4分

设，

当时，，①

当时，，，，

，且，②

综上①知， -------------8分

在单调递减，

，

当且仅当，即时等号成立．

所以的最大值为． -------------12分

考查方向

本题考查了抛物线过焦点的弦长的求解及基本不等式的应用

解题思路

联立直线与抛物线方程,求解抛物线过焦点的弦长.

设动圆圆心 ,表示出圆的方程并求出A，B点，用距离公式表示，即可得到结果。

易错点

联立消元计算出错

第2问计算量较大，对学生的运算能力是个严重的考验。

不能正确地两次利用基本不等式求最值。

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

14．如图，探照灯反射镜的纵截面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点F处，灯口直径AB为0，灯深（顶点O到反射镜距离）0，则光源F到反射镜顶点O的距离为

正确答案

或或

解析

.建立如图平面直角坐标系，设抛物线方程为，

则点A（40，30）在抛物线上，（）

考查方向

本题主要考查抛物线的几何性质等知识，意在考查考查对于抛物线的应用能力和运算求解能力。

解题思路

1.建立平面直角坐标系设出抛物线的方程；

2.根据题意点A（40，30）在抛物线上求出p;

易错点

不会将题中给出的应用问题建立坐标系求解；

知识点

抛物线的定义及应用抛物线的标准方程和几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知，抛物线上一点到抛物线焦点的距离为．

24.求和的值；

25.如图5所示，过作抛物线的两条弦和

（点、在第一象限），若，求证：直线经过一个定点．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1），；

解析

（Ⅰ）由点到抛物线焦点的距离为，结合抛物线的定义得，，即，

抛物线的方程为，把点的坐标代入，可解得；

考查方向

本题主要考查圆锥曲线的性质，直线与圆锥曲线的位置关系等知识，意在考查考生的运算求解能力和综合解决问题的能力。

解题思路

1.先利用抛物线定义求出p,然后将点M的坐标带入求解即可；2.设出直线、的方程后分别与抛物线的方程联立消元导出韦达定理后将表示为方程，后利用韦达定理求解即可得到答案。

易错点

不会利用抛物线的定义转化题中的条件到抛物线焦点的距离为．不知道该如何表示，或运算出错，导致运算越算越乱。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）略

解析

（Ⅱ）：显然直线、的斜率都存在，

分别设、的方程为，

联立，得，

设，，，，

则，，同理，，

故

，

注意到点、在第一象限，，∴

故得，，∴，即直线恒经过点．

考查方向

本题主要考查圆锥曲线的性质，直线与圆锥曲线的位置关系等知识，意在考查考生的运算求解能力和综合解决问题的能力。

解题思路

1.先利用抛物线定义求出p,然后将点M的坐标带入求解即可；2.设出直线、的方程后分别与抛物线的方程联立消元导出韦达定理后将表示为方程，后利用韦达定理求解即可得到答案。

易错点

1.不会利用抛物线的定义转化题中的条件到抛物线焦点的距离为．2.不知道该如何表示，或运算出错，导致运算越算越乱。

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足，如果直线斜率为，那么（）

A

B8

C

D16

正确答案

B

解析

如图，由结合直线斜率为知，在中，由抛物线的定义知，所以为等边三角形，在中，由，即，所以答案应为B选项。

考查方向

本题主要考查了抛物线的定义和几何关系,属于比较灵活的题，常考求方程、离心率的值或范围、中点弦，面积等问题。

解题思路

1、由直线斜率为知；2、在中，由抛物线的定义知，所以为等边三角形；3、在中解出的值。

易错点

本题难在定义的应用和几何关系的寻找。

知识点

抛物线的标准方程和几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知抛物线，过其焦点作斜率为1的直线交抛物线C于M、N两点，且．

23.求抛物线C的方程；

24.已知动圆P的圆心在抛物线C上，且过定点D(0，4)，若动圆P与x轴交于A、B两点，且，求的最小值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）

解析

(1) 设抛物线的焦点为，则直线，

由，得 ………………………2分

，，

， ………………………4分

抛物线的方程为 ………………………5分

考查方向

抛物线与圆的定义与几何性质，不等式的应用.

解题思路

过抛物线焦点的弦长运用抛物线的定义可求得；求出的函数表达式，再求最值.

易错点

本题抛物线为开口向上的，故焦点弦长为；求函数的最值时注意定义域.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

.

解析

设动圆圆心，则，

且圆，

令，整理得：，

解得：， ………………………7分

，…………9分

当时，，

当时，，，，

，

所以的最小值为． ………………………12分

考查方向

抛物线与圆的定义与几何性质，不等式的应用.

解题思路

过抛物线焦点的弦长运用抛物线的定义可求得；求出的函数表达式，再求最值.

易错点

本题抛物线为开口向上的，故焦点弦长为；求函数的最值时注意定义域.

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

动点在抛物线上，过点作垂直于轴，垂足为，设.

23.求点的轨迹的方程；

24.设点，过点的直线交轨迹于两点，设直线的斜率分别为，求的最小值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

解：（Ⅰ）设点，，则由，得，

因为点在抛物线上，∴. ………………………4分

考查方向

求圆锥曲线的轨迹方程

解题思路

设参数，找等量关系，求解参数

易错点

计算能力弱，数形结合思想运用不牢

教师点评

解析几何一般都需要学生拥有一个强大的计算能力

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

（Ⅱ）由已知，直线的斜率一定存在，

设点，，则联立，

得，，

由韦达定理，得. ………………………………………6分

当直线经过点即或时，

当时，直线的斜率看作抛物线在点处的切线斜率，

则，，此时；

同理，当点与点重合时，（学生如果没有讨论，不扣分）

直线不经过点即且时，∵，

……………………………………8分

， …………………………………………………10分

故，

所以的最小值为1． ………………………………………12分

考查方向

抛物线的性质及应用，直线和圆锥曲线的交汇问题直线的斜率，求圆锥曲线的轨迹方程

解题思路

设出相关点的坐标，利用直线和圆锥曲线的方程联立，带入坐标，求解参数的值，利用平均值不等式判断求解的最小值

易错点

计算能力弱，不会用平均值不等式求最值

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知抛物线C的标准方程为，M为抛物线C上一动点，为其对称轴上一点，直线MA与抛物线C的另一个交点为N．当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，△MON的面积为18．

23.求抛物线C的标准方程；

24.记，若t值与M点位置无关，则称此时的点A为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

抛物线C的标准方程为．

解析

由题意，，，

抛物线C的标准方程为．

考查方向

求抛物线的标准方程，圆锥曲线和直线的交汇问题

解题思路

根据三角形的面积公式，抛物线的几何性质，建立关于p的方程，然后求出p

易错点

抛物线的几何性质掌握不好，计算求解错误

教师点评

主要是找到等量关系，建立方程，进而求出p

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

不论a取何值，t均与m有关，即时，A不是“稳定点”；

仅当，即时，t与m无关，

解析

设，设直线MN的方程为，联立得，，，，由对称性，不妨设，

（ⅰ）时，，同号，

又，，

不论a取何值，t均与m有关，即时，A不是“稳定点”；

（ⅱ）时，，异号，又，

，

仅当，即时，t与m无关，

考查方向

求抛物线的标准方程，圆锥曲线和直线的交汇问题

解题思路

设出相关变量的参数，然后联立成方程组，利用代数方法解决几何问题。

在讨论a时，要对a的符号进行讨论，最后结合讨论结果，给出答案。

教师点评

本题主要难在计算量上，在设参数然后“解析”的时候，要注意运算正确

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

的展开式中的系数是（）

A42

B35

C28

D21

正确答案

D

解析

二项式展开式的通项公式为=，令k=2，则

知识点

抛物线的标准方程和几何性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

A

B

C

D

正确答案

B

知识点

椭圆的几何性质抛物线的标准方程和几何性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

5.抛物线上一点的纵坐标为4，则点与抛物线焦点的距离为

A5

B4

C

D

正确答案

A

解析

依题意可知抛物线的准线方程为，

∴点A到准线的距离为4+1=5，

根据抛物线的定义可知点A与抛物线焦点的距离就是点A与抛物线准线的距离，

∴点A与抛物线焦点的距离为5，

故选A.

考查方向

本题主要考查了抛物线的定义的运用．考查了学生对抛物线基础知识的掌握．属基础题．

解题思路

先根据抛物线的方程求得准线的方程，进而利用点A的纵坐标求得点A到准线的距离，进而根据抛物线的定义求得答案．

易错点

圆锥曲线的定义要熟练的掌握并学会灵活应用.

知识点

抛物线的定义及应用抛物线的标准方程和几何性质

1

题型：简答题

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单选题

定期存款较股票型基金产品有一定特点，下列说法正确的是( )。

A．流动性高；收益率高
B．流动性高；收益率低
C．流动性低；收益率低
D．流动性低；收益率高

正确答案

C

解析

[解析] 一般说来，定期存款低于股票型基金产品的收益率，流动性也低于股票型基金产品。

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知抛物线的顶点为，，焦点为，.

23.求抛物线的方程；

24.过点作直线交抛物线于，两点，若直线，分别交直线于、两点，求的最小值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解：由题意，设抛物线的方程为（），

则，，

所以抛物线的方程为. …………4分

解析

解：由题意，设抛物线的方程为（），

则，，

所以抛物线的方程为. …………4分

考查方向

抛物线的标准方程

解题思路

熟练掌握抛物线的四种形式即可求解。

易错点

容易把抛物线的对称轴弄反了。

教师点评

熟记抛物线的标准方程是关键。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解：由题意，直线的斜率存在，设，，，，

直线的方程为， …………5分

由，消去，整理得，

，， …………8分

从而， …………9分

由，解得点的横坐标，

同理点的横坐标，

所以， …………11分

令，，则，

当时，，

当时，， …………13分

综上所述，当，即时，的最小值是. …………14分

解析

解：由题意，直线的斜率存在，设，，，，

直线的方程为， …………5分

由，消去，整理得，

，， …………8分

从而， …………9分

由，解得点的横坐标，

同理点的横坐标，

所以， …………11分

令，，则，

当时，，

当时，， …………13分

综上所述，当，即时，的最小值是. …………14分

考查方向

弦长公式及最值问题。

解题思路

联立直线和抛物线的方程，然后用韦达定理的两根的关系，再同弦长公式表示出来，最后配方得到最小值。

易错点

1、解方程出错；2、将弦长公式表示出来后，没有思路。

教师点评

本题考查了抛物线的标准方程及直线与抛物线的位置关系，弦长公式、最值问题。

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

14.若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则p=（）

正确答案

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

双曲线的几何性质抛物线的标准方程和几何性质

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