热门试卷

（1），又

…………4分

（2）显然直线不与轴重合

当直线与轴垂直时，||=3，，；………………5分

当直线不与轴垂直时，设直线：代入椭圆C的标准方程，

整理，得

               ………………7分

令

所以

由上，得

所以当直线与轴垂直时最大，且最大面积为3    ……………10分

设内切圆半径，则

即，此时直线与轴垂直，内切圆面积最大

所以，      ………………12分

（1）当时，直线的倾斜角为，

所以：…………3分

解得：，……5分

所以椭圆方程是：；……6分

（2）当时，直线的方程为：，此时，M,N点的坐标分别是，又点坐标是（-2,0），由图可以得到P,Q两点坐标分别是（4,3），（4，-3），以PQ为直径的圆过右焦点，被轴截得的弦长为6，猜测当 变化时，以PQ为直径的圆恒过焦点，被轴截得的弦长为定值6，……………………8分

证明如下：设点M,N点的坐标分别是，则直线的方程是：，

所以点的坐标是，同理，点的坐标是，…………………9分

由方程组得到：，

所以：，…………………11分

从而：

所以：以为直径的圆一定过右焦点，被轴截得的弦长为定值6。……………13分

解析：（1）因为以坐标原点为圆心，椭圆短轴长为直径的圆经过椭圆的焦点，所以，可得，又因为的周长为，可得，所以，

可得，所求椭圆的方程为。   　　　　　   ………5分

（2）直线的方程为 ，且，记，，

联立方程，消去得，

，                       ……… 8分

，

从而，

为定值。                                            ………13分

（1）当时，直线的倾斜角为，所以：…………3分

解得：，……5分      所以椭圆方程是：；……6分

（2）当时，直线的方程为：，此时，M,N点的坐标分别是，又点坐标是（-2,0），由图可以得到P,Q两点坐标分别是（4,3），（4，-3），以PQ为直径的圆过右焦点，被轴截得的弦长为6，猜测当 变化时，以PQ为直径的圆恒过焦点，被轴截得的弦长为定值6，……………………8分

证明如下：设点M,N点的坐标分别是，则直线的方程是：，

所以点的坐标是，同理，点的坐标是，…………………9分

由方程组得到：，

所以：，…………………11分

从而：

所以：以为直径的圆一定过右焦点，被轴截得的弦长为定值6。……………13分

（1）由方程的（2）式平方减去（1）式得：　

（2）曲线的焦点到准线的距离为，离心率为，

所以曲线的极坐标方程为

解析： 解法一： （1）设椭圆方程为，由已知。

又。

所以，椭圆C的方程是+ =1，…………4分

（2）若直线l与x轴重合，则以AB为直径的圆是x2+y2=1, …………5分

若直线l垂直于x轴，则以AB为直径的圆是(x+)2+y2=。…………6分

由解得即两圆相切于点（1,0）。…………7分

因此所求的点T如果存在，只能是（1,0），

事实上，点T（1,0）就是所求的点，证明如下：

当直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（1,0）。

若直线l不垂直于x轴，可设直线l：y=k(x+)。

由即(k2+2)x2+k2x+k2-2=0。………………9分

记点A(x1,y1),B(x2,y2),则………………10分

又因为=(x1-1, y1), =(x2-1, y2),

=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(x1-1)(x2-1)+k2(x1+)(x2+)

=(k2+1)x1x2+(k2-1)(x1+x2)+k2+1

=(k2+1) +(k2-1) + +1=0，

所以TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T（1,0）。

所以在坐标平面上存在一个定点T（1,0）满足条件。…………13分

解法二：（1）由已知，设椭圆C的方程是，

因为点P在椭圆C上，所以,解得，

所以椭圆C的方程是：。………………4分

（2）假设存在定点T(u，v)满足条件。

同解法一得(k2+2)x2+k2x+k2-2=0。………………6分

记点A(x1,y1)，B(x2,y2),则…………7分

又因为=(x1-u, y1-v), =(x2-u, y2-v),及y1=k(x1+),y2=k(x2+)。

所以=(x1-u)(x2-u)+(y1-v)(y2-v)

=(k2+1)x1x2+(k2-u-kv)(x1+x2)+k2-v+u2+v2

=(k2+1) +(k2-u-kv)+ -v + u2+v2，

=。…………10分

当且仅当=0恒成立时，以AB为直径的圆恒过点T。

·=0恒成立等价于解得u=1,v=0，此时，以AB为直径的圆恒过定点T（1,0），……………………13分

当直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆亦过点T（1,0）。

所以在坐标平面上存在一个定点T（1,0）满足条件，…………13分

解法三：（1）同解法一或解法二。………………4分

（2）设坐标平面上存在一个定点T满足条件，根据直线过x轴上的定点S及椭圆的对称性，所求的点T如果存在，只能在x轴上，设T（t,0），……5分

同解法一得………………7分

又因为=(x1-t, y1), =(x2-t, y2),所以

=(x1-t)(x2-t)+y1y2=(x1-t)(x2-t)+k2(x1+)(x2+)

=(k2+1)x1x2+(k2-t)(x1+x2)+k2+t 2

=(k2+1) +(k2-t)++t2

= 。…………………………10分

当且仅当=0恒成立时，以AB为直径的圆恒过点T。

=0恒成立等价于解得t=1。

所以当t=1时,以AB为直径的圆恒过点T。……………………12分

当直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆亦过点T（1,0）。

所以在坐标平面上存在一个定点T（1,0）满足条件。………………13分

解析：（1）由F1(-1，0)得,∴A点坐标为；……2分

∵  ∴ 是的中点  ∴

∴ 椭圆方程为   ……5分

（2）当直线MN与PQ之一与轴垂直时，四边形PMQN面积

…………6分

当直线PQ，MN均与轴不垂直时，不妨设PQ：，

联立代入消去得

设 则………8分

∴ ，同理

∴四边形PMQN面积  ………10分

令，则，易知S是以为变量的增函数

所以当时，，∴

综上可知，，∴四边形PMQN面积的取值范围为………13分

解析：（1）∵过（0，0）

则

∴∠OCA=90°，  即  …………2分

又∵

将C点坐标代入得 

解得  c2=8，b2=4

∴椭圆m：  …………5分

（2）由条件D（0，－2）  ∵M（0，t）

①当k=0时，显然－2<t<2  …………6分

②当k≠0时，设

   消y得   …………8分

由△>0  可得     ①

设

则 ∴…11分

由

∴   ②

∴t>1  将①代入②得   1<t<4

∴t的范围是（1，4）………………12分

综上t∈（－2，4）  ………………13分

解析：（1）∵，∴，又∵，∴，∴，∴椭圆的标准方程为，（2）证：当的斜率为0时，显然，满足题意，当的斜率不为0时，设方程为，代入椭圆方程整理得：， ，，，则

，而

∴，从而， 综合可知：对于任意的割线，恒有，

（3），即：，当且仅当，即（此时适合于的条件）取到等号，∴△ABF面积的最大值是。

解析：（1）∵点A在圆，

由椭圆的定义知：|AF1|+|AF2|=2a，

（2）∵函数

∴

点F1（－1，0），F2（1，0），

①若，

∴

②若AB与x轴不垂直，设直线AB的斜率为k，则AB的方程为y=k（x+1）

由…………（*）

方程（*）有两个不同的实根.

设点A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程（*）的两个根

由①②知

因AE=AC，AB为直径，

故∠OAC=∠OAE。

所以∠POC=∠OAC+∠OCA=∠OAC+∠OAC=∠EAC。

又∠EAC=∠PDE，

所以，∠PDE=∠POC，

解析：（1）设知

展开整理得：

即

∴

即

（2）（i）∵AC⊥BD,由椭圆对称性知AC与BD互相平分，∴四边形ABCD是菱形，它存在内切圆，圆心为O，设半径为r，直线AB方程为：y=kx+m

则　　　①

联立　　得

∴

由（1）知OA⊥OB, ∴

∴

②          ②代入①有：

∴存在内切圆，其方程为：

容易验证，当k不存在时，上述结论仍成立.

（ii）

∵　　

∴　

令

∵

当

容易验证，当k不存在时，

（1） 设椭圆方程为=1（a>b>0）,由焦点坐标可得c=1………1分

由PQ|=3，可得=3，……………………………………………2分

解得a=2，b=，…………………………………………………３分

故椭圆方程为=1……………………………………………4分

（2） 设M，N,不妨>0, <0,设△MN的内切圆的径R，

则△MN的周长=4a=8，（MN+M+N）R=4R

因此最大，R就最大，………………………………………6分

，

由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，

由得+6my-9=0，………………………８分

得，，

则AB（）==，……………9分

令t=,则t≥1,

则,………………………10分

令f（t）=3t+，则f′(t) =3-，

当t≥1时，f′(t)≥0,f(t)在［1,+∞)上单调递增，

有f(t)≥f(1)=4, ≤=3,

即当t=1,m=0时，≤=3, =4R，∴=，

这时所求内切圆面积的最大值为π。

故直线l:x=1，△AMN内切圆面积的最大值为π………………12分