圆锥曲线与方程_章节学习

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

4.已知一个空间几何体的三视图如右图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是( )

A4 cm3

B5 cm3

C6 cm3

D7 cm3

正确答案

A

解析

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知识点

直线与抛物线的位置关系

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

21．如图，已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线交抛物线于，两点，直线分别与抛物线交于点

（1）证明的值与无关，并用表示；

（2）记直线的斜率为，证明为定值

正确答案

证明：（1）依题意，设直线的方程为．

将其代入，消去，

整理得．

从而．

于是

∴与无关，

又

（2）证明：设，

则．

设直线的方程为，

将其代入，消去，

整理得

∴．

同理可得．

故．

由（1）知，，

∴为定值．

解析

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知识点

平面向量数量积的运算直线的倾斜角与斜率抛物线的标准方程和几何性质直线与抛物线的位置关系圆锥曲线的定点、定值问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

7．已知点，抛物线（）的焦点为，射线与抛物线相交于点，与其准线相交于点，若则的值等于（）

A

B

C1

D4

正确答案

D

解析

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知识点

抛物线的标准方程和几何性质抛物线焦点弦的性质直线与抛物线的位置关系

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

13．已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且与轴相交于点，若△（为坐标原点）的面积为，则抛物线方程为___________

正确答案

或

解析

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知识点

抛物线的标准方程和几何性质直线与抛物线的位置关系

1

题型：填空题

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填空题 · 4 分

9．直线与曲线（为参数）的交点坐标是（）

正确答案

解析

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知识点

直线与抛物线的位置关系参数方程化成普通方程抛物线的参数方程

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

4．设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为（）

A

B4

C2

D

正确答案

B

解析

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知识点

直线与抛物线的位置关系

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

8.抛物线y=x2与直线x-y+2=0构成封闭平面区域(含边界)为D.若曲线x2-2ax+y2-4y+a2+ =0与D有公共点,则a的最小值为(　　).

A

B-

C-

D-

正确答案

C

解析

曲线

即为,

其圆心坐标为E(a,2),半径

由图可知,当时,

圆与点D有公共点;

当a<0时,要圆与点D有公共点,

只需圆心到直线l:x-y+2=0的距离

则a的最小值为-

知识点

直线与抛物线的位置关系圆锥曲线中的范围、最值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

6.直线，直线与直线关于轴对称，且与抛物线相切，则（）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

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知识点

与直线关于点、直线对称的直线方程直线与抛物线的位置关系

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

16．已知点，直线，动点到点的距离等于它到直线的距离.

（Ⅰ）试判断点的轨迹的形状，并写出其方程.

（Ⅱ）是否存在过的直线，使得直线被截得的弦恰好被点所平分？

正确答案

（Ⅰ）因点到点的距离等于它到直线的距离，

所以点的轨迹是以为焦点、直线为准线的抛物线，其方程为.

（Ⅱ）解法一：假设存在满足题设的直线.设直线与轨迹交于，

依题意，得.

①当直线的斜率不存在时，不合题意.

②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

联立方程组，

消去，得，（*）

∴，解得.

此时，方程（*）为，其判别式大于零，

∴存在满足题设的直线　　　　　　　　　　

且直线的方程为：即. 　　

解法二：假设存在满足题设的直线.设直线与轨迹交于，

依题意，得.

易判断直线不可能垂直轴，

∴设直线的方程为，

联立方程组，

消去，得，

∵,

∴直线与轨迹必相交.

又，∴.

∴存在满足题设的直线　　　　　

且直线的方程为：即.

解法三：假设存在满足题设的直线.设直线与轨迹交于，

依题意，得.

∵在轨迹上，

∴有，将，得.

当时，弦的中点不是，不合题意，

∴，即直线的斜率,

注意到点在曲线的张口内（或：经检验，直线与轨迹相交）

∴存在满足题设的直线　

且直线的方程为：即.

解析

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知识点

抛物线的定义及应用直线与抛物线的位置关系圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

5．过抛物线＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若｜AF｜＝3，则△AOB的面积为（）

A

B

C

D2

正确答案

C

解析

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知识点

抛物线的标准方程和几何性质直线与抛物线的位置关系

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

8.抛物线y=x2与直线x-y+2=0构成封闭平面区域(含边界)为D.若曲线x2-2ax+y2-4y+a2+ =0与D有公共点,则a的最小值为(　　).

A

B-

C-

D-

正确答案

C

解析

曲线

即为,

其圆心坐标为E(a,2),半径

由图可知,当时,

圆与点D有公共点;

当a<0时,要圆与点D有公共点,

只需圆心到直线l:x-y+2=0的距离

则a的最小值为-

知识点

直线与抛物线的位置关系直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

4．若直线，交抛物线C：y2=2px(p>0)于两不同

点A，B，且|AB|=3p，则线段AB中点M到

y轴距离的最小值为( )

A

Bp

C

D2p

正确答案

B

解析

由题意可得抛物线的准线l：

分别过A，B，M作AC⊥l，BD⊥l，MH⊥l，垂足分别为C，D，H。在直角梯形ABDC中，

由抛物线的定义可知AC=AF，BD=BF（F为抛物线的焦点）

即AB的中点M到抛物线的准线的最小距离为

∴线段AB中点M到y轴距离的最小值为故选：B．

考查方向

抛物线的性质与特征

解题思路

分别过A，B，M作AC⊥l，BD⊥l，MH⊥l，垂足分别为C，D，H，要求M到y轴的最小距离，只要先由抛物线的定义求M到抛物线的准线的最小距离d，即可求解．

易错点

对图像的性质掌握不牢固，不会应用转化思想解题

教师点评

本题考查线段中点到y轴距离的最小值的求法，解题时要认真审题，注意抛物线性质的合理运用

知识点

直线与抛物线的位置关系

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

10.已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=3，

则|QF|=（）

A

B

C3

D6

正确答案

B

解析

试题分析：

如图，设与轴的交点为，过向准线作垂线，垂足为，

，

又

故选B.

考查方向

抛物线的简单性质.

解题思路

本题考查了抛物线的简单性质，需要先得到比例关系，再用抛物线定义转化，得出结果

易错点

本题在比例转化过程中易错。

知识点

抛物线的定义及应用直线与抛物线的位置关系

1

题型：简答题

|

简答题 · 13 分

设，点的坐标为（1,1），点在抛物线上运动，点满足，经过点与轴垂直的直线交抛物线于点，点满足,求点的轨迹方程。

正确答案

P的轨迹方程为。

解析

本题考查直线和抛物线的方程，平面向量的概念，性质与运算，动点的轨迹方程等基本知识，考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学素养。

由知Q,M,P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设P(x,y),Q(x,y0),M(x,x2),则,即

①

再设，由，即，解得

②

将①式代入②式，消去，得

③

又点B在抛物线上，所以，再将③式代入，得

整理得

因，两边同除以，得

故所求点P的轨迹方程为。

知识点

定义法求轨迹方程

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

如图，已知两条抛物线和，过原点的两条直线和，与分别交于两点，与分别交于两点.

（1）证明：

（2）过原点作直线（异于，）与分别交于两点。记∆A1B1C1与的∆A2B2C2面积分别为与,求的值.

正确答案

见解析。

解析

本题以二次曲线中的抛物线和直线相关知识为背景，考察学生的运算和推演能力，考查转化化归思想的运用。

（1）设直线l1:y=kx,l2:y=mx(k≠m,k≠0,m≠0)分别代入E1,E2的方程得

A1,A2;B1,B2,则直线A1B1与A2B2有两种情形：

一是当k=-m时，直线A1B1与A2B2的斜率都不存在，A1B1‖A2B2；

二是当k-m时，直线A1B1与A2B2的斜率，则A1B1‖A2B2；

综合可见，A1B1‖A2B2。

（2）设直线l:y=nx,则C1,C2，三点坐标代入面积公式可得，

另一法：由（1）知，两个三角形三边对应平行，它们相似。面积比为边的比的平方。可得。

知识点

定义法求轨迹方程

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正确答案

解析

知识点

正确答案

解析

知识点

正确答案

解析

知识点

正确答案

解析

知识点

正确答案

解析

知识点

正确答案

解析

知识点

正确答案

解析

知识点

正确答案

解析

知识点

正确答案

解析

知识点

正确答案

解析

知识点

正确答案

解析

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

教师点评

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

知识点

正确答案

解析

知识点