热门试卷

（1） 对于曲线有

，即的方程为：；

对于曲线有

，所以的方程为.                                        (5分)

（2）显然椭圆与直线无公共点，椭圆上点到直线的距离为：

，

当时，取最小值为，此时点的坐标为.   (10分)

（1）易得，，，设，则，

直线PS与TE交于C，故，①   且，② 。  

①②相乘得，又点P是圆O上的动点，故即

要使为定值，则解得 此时

即时，点C的轨迹曲线E的方程为       

（2）设A，B两点的坐标分别为，假设使=1成立的直线存在，

（ⅰ）当不垂直于x轴时，设的方程为，

由与垂直相交于Q点且||=1.得，即   

∵=1‍∴

即 ，将代入椭圆方程，得

由求根公式可得， ④      ⑤

 = 

= 

将④，⑤代入上式并化简得   ⑥

将代入⑥并化简得，矛盾  即此时直线不存在  

（ⅱ）当垂直于x轴时，满足的直线的方程为x=1或x=-1，

当X=1时，A,B,Q的坐标分别为，∴，

∴=≠1当x=-1时，同理可得≠1，矛盾  即此时直线也不存在

综上可知，使=1成立的直线不存在.       

·

解：（1）：，：，

曲线关于曲线对称，，：

（2）；

，  

（1），，

∵曲线与在公共点处有相同的切线，

∴　，解得，。  …………………3分

（2）设，则由题设有①

又在点有共同的切线，

∴代入①得  …………5分

设，则，

∴在上单调递增，所以 ＝0最多只有个实根，

从而，结合（1）可知，满足题设的点只能是         …………………7分

（3）当，时，，，

曲线在点处的切线方程为，即。

由，得 。

∵ 曲线与总存在公切线，∴ 关于的方程，

即  总有解。    …………………9分

若，则，而，显然不成立，所以 。 ………10分

从而，方程可化为 。

令，则。

∴ 当时，；当时，，即 在上单调递减，在上单调递增，∴在的最小值为，

所以，要使方程有解，只须，即。 …………………12分

解析：（1）由，可得

所以曲线的直角坐标方程为，…………………………2分

标准方程为

曲线的极坐标方程化为参数方程为 

…………………………5分

（2）当时，直线的方程为，

化成普通方程为…………………………………7分

由，解得或…………………………………9分

所以直线与曲线交点的极坐标分别为，;,.………………………………………10分

（1）设动圆圆心的坐标为

因为动圆在轴右侧与轴相切，同时与圆相外切，所以， ……………1分

，化简整理得，曲线的方程为； …3分

（2）依题意，，, 可得，                   …………………4分

,又由椭圆定义得.     …………………5分

，所以曲线的标准方程为；         …………………6分

（3）设直线与椭圆交点，的中点的坐标为，

将的坐标代入椭圆方程中，得

两式相减得

，     …………………7分

，直线的斜率，    …………………8分

由（2）知，∴

由题设，，     …………………10分

即.      …………………12分

解析：（1）由，

得：，则，

所以 得。

（2）令f′（x）=0，得，即x=alna。

由f′（x）＞0，得x＜alna，由f′（x）＜0，得：x＞alna。

∴f（x）在（﹣∞，alna]上为增函数，在[alna，+∞）上为减函数。

∴当a＞alna，即a＜e时，f（x）max=f（a）=a﹣e。

当a≤alna≤2a，即e≤a≤e2时，f（x）max=f（alna）=alna﹣a。

当2a＜alna，即a＞e2时，。

（3）证明：由（2）知f（x）max=f（alna）=alna﹣a。

∵f（x1）=f（x2）=0，∴f（x）max=f（alna）=alna﹣a＞0。

∴lna＞1，得：a＞e，∴f（a）=a﹣e＞0，且f（alna）＞0。

得x2﹣x1＞alna﹣a，又，，

∴。

解析：（1）解：设

，由得   ………………4分

（2）解法一：易知，设，，，

设的方程为

联立方程 消去，得，所以 .

同理，设的方程为，.             ……………… 6分

对函数求导，得，

所以抛物线在点处的切线斜率为，

所以切线的方程为， 即.

同理，抛物线在点处的切线的方程为.…………… 8分

联立两条切线的方程

解得，，

所以点的坐标为. 因此点在直线上.  …10分

因为点到直线的距离，

所以，当且仅当点时等号成立。

由，得，验证知符合题意.

所以当时，有最小值.              ………………12分

解法二：由题意，，设，，，

对函数求导，得，

所以抛物线在点处的切线斜率为，

所以切线的方程为， 即.

同理，抛物线在点处的切线的方程为.

联立两条切线的方程

解得，，                 ………………8分

又

由得

所以点在直线上                ………………10分

因为点到直线的距离，

所以，当且仅当点时等号成立。

有最小值.                            ………………12分

解析：（1）将M及对应的参数φ= ，；代入得，

所以，所以C1的方程为，
设圆C2的半径R，则圆C2的方程为：ρ=2Rcosθ（或（x-R）2+y2=R2），将点D代入得：

∴R=1   ∴圆C2的方程为：ρ=2cosθ（或（x-1）2+y2=1）--------5分

（2）曲线C1的极坐标方程为：，将A（ρ1，θ），Β（ρ2，θ+）代入得：，

所以

即的值为。          --------10分

（1）设，则。点在圆上，，

即点的轨迹的方程为，…………………………………………4分

（2）解法一：

（i） 当直线的斜率不存在时，直线的方程为或，显然与轨迹相切；

（ii）当直线的斜率存在时，设的方程为，

因为直线与圆相切，所以，即，………………7分

又直线的斜率等于，点的坐标为。

所以直线的方程为，即。 …………………………9分

由得。

，故直线与轨迹相切。

综上（i）（ii）知，直线与轨迹相切。 ……………………………………………13分

解法二 ：设（），则，……………………………………5分

（i）当时，直线的方程为或，此时，直线与轨迹相切；

（ii）当时，直线的方程为，即。

令，则。，又点，

所以直线的方程为，即，………………9分

由得即。

，所以，直线与轨迹相切。

综上（i）（ii）知，直线与轨迹相切，……………………………………………13分

（1）设动点到直线的距离为，则，根据圆锥曲线的统一定义，点的轨迹为椭圆.     

∵，∴，∴.

故椭圆的方程为.      

（2）若直线存在斜率，设其方程为与椭圆的交点.

将代入椭圆的方程并整理得.

∴，          

∴

.    

又点到直线的距离，

∴，

①  当时，； ②当时，；

③当时，。

若直线的斜率不存在，则即为椭圆的短轴，∴，∴。

综上，的面积的最大值为，   

本题主要考查直线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查应用意识。

以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，……1分

（1）依题意可知：考察区域边界曲线是以A,B为焦点的椭圆，…………2分

设椭圆方程为：，

则，……………………5分

解得，……………………6分

∴考察区域边界曲线的方程为：.………………………………7分

（2）设轮船在观测区域内航行的时间为小时，航线与区域边界的交点为、，

∵，，

∴直线方程：…………………………………………………8分

联立方程，整理得：，…………………9分

解得………………………………………………………………10分

∴……………………………………………11分

∴ （小时）. ……………………………………………12分

∴轮船大约在当日上午10时离开观测区域.     . ……………………………13分

（其他解法相应给分）