热门试卷

(1)画图可知 ,即

(2)直线的直角坐标为，与轴的交点为，所以

（1）在直角坐标平面内，将每个点绕原点按逆时针方向旋转的变换所对应的矩阵为.所以由旋转变换得到的公式即可求得矩阵M.再根据逆矩阵求出结论.

（2）将每个点横、纵坐标分别变为原来的倍的变换所对应的矩阵为,由于曲线先在变换作用下，然后在变换作用下得到的曲线方程.所以.所以在曲线上任取一点,通过NM的变换即可得到结论.

（1），，。 4分

（2），，

代入中得：。

故所求的曲线方程为：。                7分

（1）由曲线的极坐标方程为,两边分别乘以,再根据,即可将极坐标方程转化为直角坐标方程.由直线的参数方程为（为参数）,消去参数t可得直角坐标系中的直线方程.

（2）由圆心(2,0)到直线的距离为1.所以恰为圆半径的，所以圆上共有3个点到直线的距离为1.

（1）由得，故曲线的直角坐标方程为：，即

；由直线的参数方程消去参数得，

即。                        4分

（2）因为圆心到到直线的距离为，恰为圆半径的，所以圆上共有3个点到直线的距离为1。            7分

（1）是圆，是直线。

的普通方程为，圆心，半径。

的普通方程为。                     ……………2分

因为圆心到直线的距离为，

所以与只有一个公共点。                         ……………4分

（2）压缩后的参数方程分别为

：（为参数）； ：（t为参数）。

化为普通方程为：：，：，……………6分

联立消元得，

其判别式，……………7分

所以压缩后的直线与椭圆仍然只有一个公共点，和与公共点个数相同。

（1）当时，M的行列式det(M)=-5，故所求的逆矩阵.　…3分

（2）设曲线C上任意一点，它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点

，则，即

又点在曲线上，所以，则，

即为曲线C的方程，

又已知曲线C的方程为，

比较系数可得，解得，∴.　…………7分

（1）由得，故曲线的直角坐标方程为：，即；由直线的参数方程消去参数得，

即，………………………………………………………………4分

（2）因为圆心到到直线的距离为，恰为圆半径的，所以圆上共有3个点到直线的距离为1，………………………………7分

（1）到定点的距离等于到定直线的距离

轨迹为抛物线………………………………2分

轨迹方程为………………………………3分

（2）(i)依题意得设， 此时

由  得，………………………………5分

同理 ………………………………6分

因此方程为

即 ………………………………7分

令  得

  ………………………………8分

(ii)结论：过抛物线上顶点以外的定点任作两条相互垂直的弦，则弦必过定点。

设点为上一定点(非原点)，则

过作互相垂直的弦

设，，则，，

化简得即（*）………… 10分

假设过定点，则有

即化简得（**）………………12分

比较（*）、（**）得，

过定点………………13分

（如用其它方法，请对照给分）

解（1）设动圆圆心C的坐标为，动圆半径为R，则

，且

可得 。

由于圆C1在直线l的上方，所以动圆C的圆心C应该在直线l的上方，所以有，从而得，整理得，即为动圆圆心C的轨迹M的方程，                              

（2）如图示，设点P的坐标为，则切线的斜率为，可得直线PQ的斜率为，所以直线PQ的方程为，由于该直线经过点A（0,6），所以有，得，因为点P在第一象限，所以，点P坐标为（4,2），直线PQ的方程为，                

把直线PQ的方程与轨迹M的方程联立得，解得或4，可得点Q的坐标为，所以

， 

法一： ，即 ，……………………1分所以  得        ……………………3分

即M=   ，由得 . ………………4分

法二：同法一可求得M= 因为 =1 ,  .        ………4分

（2）

（1）由于点在圆上运动, 为线段的中点,根据两点坐标的关系,以及点P在圆上,即可得到结论.

（2）由（1）得到轨迹的方程为椭圆方程.切线PE的斜率有两种情况：斜率不存在则可得直线与轨迹的位置关系为相切.直线斜率存在则假设点P的坐标,写出切线方程,以及点N的坐标,再写出直线MN的方程.联立椭圆方程,根据判别式的值即可得到结论.

（1）设，则。点在圆上，，

即点的轨迹的方程为。                4分

（2）解法一：

（i） 当直线的斜率不存在时，直线的方程为或，显然与轨迹相切；

（2）当直线的斜率存在时，设的方程为，

因为直线与圆相切，所以，即。      7分

又直线的斜率等于，点的坐标为。

所以直线的方程为，即.          9分

由得。

，故直线与轨迹相切。

综上（i）（2）知，直线与轨迹相切.                 13分

解法二 ：设（），则。              5分

（i）当时，直线的方程为或，此时，直线与轨迹相切；

（2）当时，直线的方程为，即。

令，则。，又点，

所以直线的方程为，即。      9分

由得即。

，所以，直线与轨迹相切。

综上（i）（2）知，直线与轨迹相切。                 13分

（1）设B(0，t)，设Q(m，0)，t2=|m|， m0，m=-4t2，

 Q(-4t2，0)，设P(x，y)，则=(x-，y)，

=(-4t2-，0)，2=(-，2 t)， +=2。

(x-，y)+ (-4t2-，0)= (-，2 t)，

 x=4t2，y=2 t， y2=x，此即点P的轨迹方程；

（2）由（1），点P的轨迹方程是y2=x；设P(y2，y)，M (4，0) ，则以PM为直径的圆的圆心即PM的中点T(，), 以PM为直径的圆与直线x=a的相交弦长:

L=2

=2=2 

若a为常数，则对于任意实数y，L为定值的条件是a-=0, 即a=时，L=

存在定直线x=，以PM为直径的圆与直线x=的相交弦长为定值。