- 圆锥曲线与方程
- 共2626题
已知点是椭圆
上任一点,点
到直线
的距离为
,到点
的距离为
,且
,直线
与椭圆
交于不同两点
、
(
,
都在
轴上方),且
。
(1)求椭圆的方程;
(2)当为椭圆与
轴正半轴的交点时,求直线
方程;
(3)对于动直线,是否存在一个定点,无论
如何变化,直线
总经过此定点?若存在,求出该定点的坐标;若不存在,请说明理由。
正确答案
见解析
解析
(1)设,则
,
化简得:
椭圆C的方程为:
(2),
,
代入得:
,
,代入
得
,
,
(3)解法一:由于,
。
设
设直线方程:
,代入
得:
,
直线方程:
直线
总经过定点
解法二:由于,所以
关于x轴的对称点
在直线
上。
设
设直线方程:
,代入
得:
,
,令
,得:
,
直线
总经过定点
知识点
如图所示,已知A、B、C是长轴长为4的椭圆E上的三点,点A是长轴的一个端点,BC过椭圆中心O,且,|BC|=2|AC|。
(1)求椭圆E的方程;
(2)在椭圆E上是否存点Q,使得?
若存在,有几个(不必求出Q点的坐标),若不存在,请说明理由。
(3)过椭圆E上异于其顶点的任一点P,作的两条切线,切点分别为M、N,若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m、n,证明:
为定值。
正确答案
见解析。
解析
(1)依题意知:椭圆的长半轴长,则A(2,0),
设椭圆E的方程为
由椭圆的对称性知|OC|=|OB| 又∵,|BC|=2|AC
∴AC⊥BC,|OC|=|AC| ∴△AOC为等腰直角三角形,
∴点C的坐标为(1,1),点B的坐标为(-1,-1) ,
将C的坐标(1,1)代入椭圆方程得
∴所求的椭圆E的方程为
(2)解法一:设在椭圆E上存在点Q,使得,设
,则
即点Q在直线上,
∴点Q即直线与椭圆E的交点,
∵直线过点
,而点椭圆
在椭圆E的内部,
∴满足条件的点Q存在,且有两个,
【解法二:设在椭圆E上存在点Q,使得,设
,则
即,--------①
又∵点Q在椭圆E上,∴,-----------------②
由①式得代入②式并整理得:
,-----③
∵方程③的根判别式,
∴方程③有两个不相等的实数根,即满足条件的点Q存在,且有两个,
(3)解法一:
设点,由M、N是
的切点知,
,
∴O、M、P、N四点在同一圆上,
且圆的直径为OP,则圆心为,
其方程为,
即-----④
即点M、N满足方程④,又点M、N都在上,
∴M、N坐标也满足方程---------------⑤
⑤-④得直线MN的方程为,
令得
,令
得
,-
∴,又点P在椭圆E上,
∴,即
=定值
【解法二:设点则
直线PM的方程为化简得
--------------④
同理可得直线PN的方程为---------------⑤
把P点的坐标代入④、⑤得
∴直线MN的方程为,令
得
,令
得
,∴
,又点P在椭圆E上,
∴,即
=定值。
知识点
已知椭圆C的方程为,如图,在平面直角坐标系
中,
的三个顶点
的坐标分别为
(1)求椭圆C的离心率;
(2)若椭圆C与无公共点,求m的取值范围;
(3)若椭圆C与相交于不同的两点,分别为M、N,
求面积S的最大值。
正确答案
见解析。
解析
(1)由已知可得, ,
,即椭圆
的离心率为
(2) 由图可知当椭圆在直线
的左下方或
在椭圆内时,两者便无公共点(
① 当椭圆在直线
的左下方时
将:
即
代入方程
整理得,
由即
<0解得
∴由椭圆的几何性质可知当时, 椭圆
在直线
的左下方
② 当在椭圆内时,当且仅当点
在椭圆内
∴可得,又因为
, ∴
综上所述,当或
时,椭圆
与
无公共点
(3) 由(2)知当时, 椭圆
与
相交于不同的两个点
﹑
又因为当时, 椭圆
的方程为
,此时椭圆恰好过点
,
∴① 当时,
﹑
在线段
上,显然的,此时
,当且仅当
﹑
分别与
﹑
重合时等号成立,
②当时,点
﹑
分别在线段
,
上, 易得
,
, ∴
=
令
,则
所以=
综上可得面积
的最大值为1.
知识点
已知椭圆的离心率为
,直线
与以原点为圆心、以椭圆
的短半轴长为半径的圆O相切。
(1)求椭圆C1的方程;
(2)设椭圆的左焦点为
,右焦点为
,直线
过点
,且垂直于椭圆的长轴,动直线
垂直于
,垂足为点P,线段
的垂直平分线交
于点M,求点M的轨迹
的方程;
(3)设与
轴交于点Q,不同的两点R、S在
上,且满足
,求
的取值范围。
正确答案
见解析。
解析
(1)由直线与圆
相切,得
,即
.
由,得
,所以
,
所以椭圆的方程是.
(2)由条件,知,即动点M到定点
的距离等于它到直线
的距离,由抛物线的定义得点M的轨迹
的方程是
.
(3)由(2),知,设
,
∴
由,得
∵,∴
,
∴,当且仅当
,即
时等号成立。
又
∵,∴当
,即
时,
故的取值范围是
.
知识点
已知中心在原点,左焦点为
的椭圆
的左顶点为
,上顶点为
,
到直线
的距离为
.
(1) 求椭圆的方程;
(2) 过点作直线
,使其交椭圆
于
、
两点,交直线
于
点. 问:是否存在这样的直线
,使
是
、
的等比中项?若存在,求出直线
的方程;若不存在,说明理由。
(3) 若椭圆方程为:
(
),椭圆
方程为:
(
,且
),则称椭圆
是椭圆
的
倍相似椭圆.已知
是椭圆
的
倍相似椭圆,若直线
与两椭圆
、
交于四点(依次为
、
、
、
),且
,试研究动点
的轨迹方程。
正确答案
(1)(2)存在(3)
解析
(1)设椭圆方程为:
(
),
所以直线方程为:
∴到直线
距离为
又,解得:
,
故:椭圆方程为:
.
(2) 当直线与
轴重合时,
,而
,所以
若存在直线,使
是
、
的等比中项,
则可设直线方程为:
代人椭圆的方程,得:
即:
∴
记,
,
∴
,
∵,即
,∴
∴,解得:
,符合
,所以
故存在直线,使
是
、
的等比中项,其方程为
,即:
(3) 椭圆的
倍相似椭圆
的方程为:
设、
、
、
各点坐标依次为
、
、
、
将代人椭圆
方程,得:
∴ (*)
此时:,
将代人椭圆
方程,得:
∴,
∴,可得线段
、
中点相同,所以
由,所以
,可得:
∴(满足(*)式)。
故:动点的轨迹方程为
.
知识点
若直线(
为参数)被圆
(
为参数)所截的弦长为
,则
的值为()
正确答案
解析
略
知识点
已知椭圆C1的中心在坐标原点,两个焦点分别为,点A(2,3)在椭圆C1上,过点A的直线L与抛物线
交于B,C两点,抛物线C2在点B,C处的切线分别为
,且
与
交于点P.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)是否存在满足的点P?若存在,指出这样的点P有几个(不必求出点P的坐标);若不存在,说明理由。
正确答案
见解析。
解析
(1)解法1:设椭圆的方程为
,
依题意: 解得:
∴ 椭圆的方程为
.
解法2:设椭圆的方程为
,
根据椭圆的定义得,即
,
∵, ∴
.
∴ 椭圆的方程为
.
(2)解法1:设点,
,则
,
,
∵三点共线,
∴.
∴,
化简得:. ①
由,即
得
.
∴抛物线在点
处的切线
的方程为
,即
. ②
同理,抛物线在点
处的切线
的方程为
. ③
设点,由②③得:
,
而,则
.
代入②得 ,
则,
代入 ① 得
,即点
的轨迹方程为
.
若 ,则点
在椭圆
上,而点
又在直线
上,
∵直线经过椭圆
内一点
,
∴直线与椭圆
交于两点.
∴满足条件 的点
有两个.
解法2:设点,
,
,
由,即
得
.
∴抛物线在点
处的切线
的方程为
,
即.
∵, ∴
。
∵点在切线
上, ∴
. ①
同理, . ②
综合①、②得,点的坐标都满足方程
.
∵经过的直线是唯一的,
∴直线的方程为
,
∵点在直线
上, ∴
.
∴点的轨迹方程为
.
若 ,则点
在椭圆
上,又在直线
上,
∵直线经过椭圆
内一点
,
∴直线与椭圆
交于两点.
∴满足条件 的点
有两个.
解法3:显然直线的斜率存在,设直线
的方程为
,
由消去
,得
.
设,则
.
由,即
得
.
∴抛物线在点
处的切线
的方程为
,即
.…7分
∵, ∴
.
同理,得抛物线在点
处的切线
的方程为
.
由解得
∴.
∵,
∴点在椭圆
上.
∴.
化简得.(*)
由,
可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点有两个.
知识点
设椭圆的离心率为
,其左焦点
与抛物线
的焦点相同.(Ⅰ)求此椭圆的方程;(Ⅱ)若过此椭圆的右焦点
的直线
与曲线
只有一个交点
,则
(1)求直线的方程;
(2)椭圆上是否存在点,使得
,若存在,请说明一共有几个点;若不存在,请说明理由。
正确答案
见解析。
解析
(1)抛物线的焦点为
,它是题设椭圆的左焦点.离心率为
,
所以,.由
求得
.
因此,所求椭圆的方程为 (*)
(2)椭圆的右焦点为,过点
与
轴平行的直线显然与曲线
没有交点.设直线
的斜率为
,
① 若,则直线
过点
且与曲线
只有一个交点
,此时直线
的方程为;
② 若,因直线
过点
,故可设其方程为
,将其代入
消去
,得
.因为直线
与曲线
只有一个交点
,所以判别式
,于是
,从而直线
的方程为
或
.因此,所求的直线
的方程为
或
或
.
可求出点的坐标是
或
或
.
①若点的坐标是
,则
.于是
=
,从而
,代入(*)式联立:
或
,求得
,此时满足条件的点
有4个:
.
②若点的坐标是
,则
,点M到直线
:
的距离是
,
于是有,从而
,
与(*)式联立:或
解之,可求出满足条件的点
有4个:
,
,
,
.
③ 若点的坐标是
,则
,点
到直线
:
的距离是
,于是有
,从而
,
与(*)式联立:或
,解之,可求出满足条件的点
有4个:
,
,
,
.
综合①②③,以上12个点各不相同且均在该椭圆上,因此,满足条件的点共有12个.图上椭圆上的12个点即为所求。
知识点
已知是椭圆
上两点,点M的坐标为
.
(1)当两点关于
轴对称,且
为等边三角形时,求
的长;
(2)当两点不关于
轴对称时,证明:
不可能为等边三角形。
正确答案
见解析
解析
(1) 设,
, ------------------------------1分
因为为等边三角形,所以
. ------------------------------2分
又点在椭圆上,
所以 消去
, --------------------------------3分
得到 ,解得
或
,-------------------------------4分
当时,
;
当时,
. -----------------------------------5分
{说明:若少一种情况扣2分}
(2)法1:根据题意可知,直线斜率存在。
设直线:
,
,
,
中点为
,
联立 消去
得
, ------------------6分
由得到
① --------------------------7分
所以,
, --------------------------8分
所以,又
如果为等边三角形,则有
, ------------------------9分
所以, 即
, ---------------------------10分
化简,② ---------------------------11分
由②得,代入① 得
,
化简得 ,不成立, -------------------------------13分
{此步化简成或
或
都给分}
故不能为等边三角形. ------------------------------14分
法2:设,则
,且
,
所以 ,---------------8分
设,同理可得
,且
----------------9分
因为在
上单调
所以,有, ----------------------------11分
因为不关于
轴对称,所以
.
所以, ----------------------------13分
所以不可能为等边三角形. -----------------------------14分
知识点
如图5所示,点,(
,且
)在以
、
为左、右焦点的椭圆
上运动,动三角形
的面积的最大值为
.设直线
交椭圆于点
,直线
交椭圆于点
,线段
中点为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)在点的运动过程中:
(i)设点到直线
:
的距离为
,求
的最大值;
(ii)设直线、
、
的斜率依次为
、
、
,问:是否存在实数
,使得
恒成立?若存在,求
的值;否则,请说明理由.
正确答案
见解析。
解析
(1)由椭圆可知其半焦距
,即焦距
,
动三角形的面积的最大值为
,故
,即动点
到
轴的距离
的最大值为
.显然当动点
运动到椭圆
的上、下顶点时,点
到
轴的距离的最大,即椭圆
的短半轴
,于是
,从而可知椭圆
的方程为
.
(2)(i)解法一:设及直线
的方程为:
,
,
因为点,
为直线
与椭圆
的交点,故由
消去
得如下方程:
,
易知是上述方程的两个相异实根,
,又点
为线段
的中点,故
点坐标为:
,
,
即,
,
从而点到直线
:
的距离为
,
令,则
,
即,则
,(当且仅当
时取等号),即
.
解法二:同解法一求出点坐标:
,
,
,
消去参数得
点的轨迹方程:
,
,易知
点轨迹为一个椭圆(不含左右两个顶点),不妨记该椭圆为
,显然直线
:
过点
,易知直线
与椭圆
相交,欲使
点到直线
的距离
最大,则椭圆
过
点的切线
必平行于直线
,此时直线
和
的距离亦为
.设切线
的方程为:
,联立
及
得:
,于是
,求得
,由于直线
和
平行,故易知此时均有
,即
.
(ii)解法一: 设,直线
、
的方程为:
,
,
故由,又
,
,即
,
同理可求, 于是可求
,
,
从而有,即存在
,满足题设.
解法二:设直线、
、
、
的方程为:
,
,
,
,由题设可知
(
),由于上述四条直线两两相交,故
互不相等,
因直线、
交于
点,由
,
同理可求:,
,
不妨设,(显然非零实数
互不相等且均不为1),
于是,
,
,
又三点均在椭圆
上,即有:
①,
②,
③,
对于①,②,可视实数为关于
的方程:
的两根,
即的两根,从而有
;
对于①,③,可视实数为关于
的方程:
的两根,
即的两根,从而有
,
进而有,
(亦可由①-②化简得:,①-③化简得:
,于是
),
易知,
,
,
从而,即存在
,满足题设.
知识点
已知椭圆的两个焦点分别为
和
,离心率
。
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线(
)与椭圆
交于
、
两点,线段
的垂直平分线交
轴于点
,当
变化时,求
面积的最大值。
正确答案
(1)椭圆的方程为
(2)
解析
(1)由已知椭圆的焦点在轴上,
,
,
,
,———2分
椭圆
的方程为
———4分
(2),消去
得
直线
与椭圆有两个交点,
,可得
(*)———6分
设,
,
,弦长
,———8分
中点
, 设
,
,
,
,
———11分
,
时,
,——14分
(或:
。
当且仅当
时成立,
,(用其它解法相应给分)
知识点
已知椭圆与双曲线
有公共焦点,过椭圆C的右顶点B任意作直线
,设直线
交抛物线
于P、Q两点,且
(1)求椭圆C的方程;
(2)在椭圆C上,是否存在点R(m,n),使得直线与圆
相交于不同的两点M、N,且△OMN的面积最大?若存在,求出点R的坐标及对应的△OMN的面积;若不存在,请说明理由。
正确答案
见解析。
解析
知识点
已知椭圆的中心在原点
,焦点在
轴上,离心率为
,右焦点到到右顶点的距离为
。
(1)求椭圆的标准方程;
(2)是否存在与椭圆交于
,
两点的直线
:
,使得
成立?若存在,求出实数
的取值范围,若不存在,请说明理由。
正确答案
见解析
解析
(1)设椭圆的方程为
,半焦距为
.
依题意,由右焦点到右顶点的距离为
,得
。
解得,
。
所以。
所以椭圆的标准方程是
。 ……………4分
(2)解:存在直线,使得
成立.理由如下:
由得
。
,化简得
。
设,则
,
。
若成立,
即,等价于
,所以
。
,
,
,
化简得,。
将代入
中,
,
解得,。
又由,
,
从而,
或
。
所以实数的取值范围是
。 ……………14分
知识点
已知直线经过椭圆
的左顶点
和上顶点
,椭圆
的右顶点为
,点
是椭圆上位于
轴上方的动点,直线
,
与直线
分别交于
两点。
(1)求椭圆的方程;
(2)求线段的长度的最小值。
正确答案
(1)椭圆 的方程为
(2)线段的长度取得最小值为
解析
(1),椭圆 的方程为
, ………………3分
(2)直线的斜率
显然存在,且
,
故可设直线的方程为
, ………………4分
从而 ………………5分
由得
, ………………7分
设,则
, 得
, ………………8分
从而,即
, ………………9分
又,故直线
的方程为
………………10分
由得
∴
, ………………11分
故, ………………12分
又∵, ∴
, ………………13分
当且仅当,即
时等号成立,
∴时,线段
的长度取得最小值为
, ……………………14分
知识点
已知椭圆:
(
)的焦距为
,且过点(
,
),右焦点为
,设
,
是
上的两个动点,线段
的中点
的横坐标为
,线段
的中垂线交椭圆
于
,
两点。
(1)求椭圆的方程;
(2)求的取值范围。
正确答案
见解析。
解析
(1) 因为焦距为,所以
,因为椭圆
过点(
,
),
所以,故
,
… 2分
所以椭圆的方程为
…………4分(2) 由题意,当直线AB垂直于
轴时,直线AB方程为
,此时
、
,得
。……… 5分
当直线不垂直于
轴时,设直线
的斜率为
(
),
(
),
,
由 得
,则
,
故。 ………………………………………… 6分
此时,直线斜率为
,
的直线方程为
。
即。
联立 消去
,整理得
。
设 ,
所以,
。 ……………………………9分
于是
。…… 11分
由于在椭圆的内部,故
令,
,则
。 …………… 12分
又,所以
。
综上,的取值范围为
。 …………………… 13分
知识点
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