热门试卷

（1）因为椭圆的四个顶点恰好是一边长为2，

一内角为 的菱形的四个顶点,

所以,椭圆的方程为             …………………4分

（2）设因为的垂直平分线通过点， 显然直线有斜率，

当直线的斜率为时,则的垂直平分线为轴,则

所以

因为，

所以，当且仅当时，取得最大值为  ………………6分

当直线的斜率不为时,则设的方程为

所以，代入得到

当,             即

方程有两个不同的解

又，           …………………9分

所以，又，化简得到    

代入，得到              …………………10分

又原点到直线的距离为

所以

化简得到         …………………12分

因为，所以当时，即时，取得最大值

综上，面积的最大值为                   …………………14分

（1），  ，

，，

， ------------------3分

（2）设 ， ，

由

   ①      ②----------------------5分

， --------------------8分

设为点到直线BD：的距离，

                              --------------------10分

 ----------------------13分

当且仅当时等号成立

∴当时，的面积最大，最大值为----------------14分

（1）依题意不妨设，，则，.

由，得.又因为，

解得.

所以椭圆的方程为.  ……………4分

（2）依题直线的方程为.

由得.

设，，则，.   …………6分

所以弦的中点为.  ……………7分

所以

.     ……………9分

直线的方程为，

由，得，则，

所以.   …………11分

所以.……………12分

又因为，所以.

所以.

所以的取值范围是. ……………………14分

（1）解法1：设椭圆的方程为,

依题意:    解得:

∴ 椭圆的方程为.

解法2：设椭圆的方程为，

根据椭圆的定义得，即，

∵，  ∴.

∴ 椭圆的方程为.

(2)解法1：设点,，则，

，

∵三点共线,

∴.

∴,

化简得：.  ①

由,即得.

∴抛物线在点处的切线的方程为，即. ②

同理，抛物线在点处的切线的方程为 .     ③

设点，由②③得：，

而，则 .

代入②得 ，

则，代入 ① 得 ，即点的轨迹方程为.

若 ，则点在椭圆上，而点又在直线上，

∵直线经过椭圆内一点,

∴直线与椭圆交于两点.

∴满足条件 的点有两个.

解法2：设点,，，

由,即得.

∴抛物线在点处的切线的方程为，

即.

∵， ∴ 。

∵点在切线上,   ∴.        ①

同理， .  ②

综合①、②得，点的坐标都满足方程.

∵经过的直线是唯一的，

∴直线的方程为，

∵点在直线上，      ∴.

∴点的轨迹方程为.

若 ，则点在椭圆上，又在直线上，

∵直线经过椭圆内一点,

∴直线与椭圆交于两点.

∴满足条件 的点有两个.

解法3：显然直线的斜率存在，设直线的方程为，

由消去，得.

设,则.

由,即得.

∴抛物线在点处的切线的方程为，即

∵， ∴.

同理,得抛物线在点处的切线的方程为.

由解得

∴.

∵,

∴点在椭圆上.

∴.

化简得.(*)

由,

可得方程(*)有两个不等的实数根.  ∴满足条件的点有两个.

（1）设椭圆的短半轴为，半焦距为，

则，由得，

由解得,则椭圆方程为. ----------（6分）

（2）由得

设由韦达定理得：

=

==，----------------（10分）

当，即时，为定值，所以，存在点

使得为定值

（1）设椭圆的方程为，

依题意得解得，.

所以椭圆的方程为. ………………………………………………4分

（2）显然点.

（1）当直线的斜率不存在时，不妨设点在轴上方，易得，，所以.    …………………………………………6分

（2）当直线的斜率存在时，由题意可设直线的方程为，显然时，不符合题意。

由得.

设,则.

直线，的方程分别为：，

令，则.

所以，.  ……………………10分

所以

.  ……………………………………………12分

因为，所以，所以，即.

综上所述，的取值范围是. ……………………………………14分

（1）解：依题意知，，; ……………………… 3分

（2）解：，，且，………………………4分

直线的斜率为，直线斜率为，

直线的方程为 ，直线的方程为 ，……………6分

由得，

  ………………………8分

由得，

； ………………………10分

（3）解：，，，

， ， ， ………………，，12分

，

整理方程得，即，

又， ， ，为所求，………………14分

（1）由已知得且，解得，

又，所以椭圆的方程为，………………3分

（2）设。

当直线与轴垂直时，由椭圆的对称性可知，点在轴上，且与点不重合，

显然三点不共线，不符合题设条件。

故可设直线的方程为。

由消去整理得，……………①

则，

所以点的坐标为。

因为三点共线，所以，因为，所以，

此时方程①为，则，

所以，

又，

所以，

故当时，的最大值为，…………………………13分

（1）由已知抛物线的焦点为,故设椭圆方程为，      则所以椭圆的方程为……5分

（2）当直线斜率存在时，设直线方程为，

则由

消去得，，         …………………6分

，  ①…………7分

设点的坐标分别为，则：

，…………8分

由于点在椭圆上，所以 .                       ……… 9分

从而，化简得，经检验满足①式.

………10分

又点到直线的距离为：

             ………11分

当且仅当时等号成立                                         ………12分

当直线无斜率时，由对称性知，点一定在轴上，

从而点的坐标为，直线的方程为，所以点到直线的距离为1 .

所以点到直线的距离最小值为 .                                ………13分

（1）解：设椭圆的标准方程为.

因为，，

所以.

所以 .……………………2分

所以 椭圆的标准方程为.…………………3分

（2）设，，，.

（ⅰ）证明：由消去得：.

则，

………………………5分

所以

.

同理 .………………………7分

因为 ,

所以 .

因为 ，

所以 .……………………9分

（ⅱ）解：由题意得四边形是平行四边形，设两平行线间的距离为,则 .

因为 ，

所以 .………………………10分

所以

.

（或）

所以 当时， 四边形的面积取得最大值为. ………………………13分

（1）由题意可设椭圆方程为（a＞b＞0），则

则故

所以，椭圆方程为。

（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，

故可设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），

由消去y得

（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，

则△=64k2b2﹣16（1+4k2b2）（b2﹣1）=16（4k2﹣m2+1）＞0，

且，。

故y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2。

因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，

所以=k2，

即+m2=0，又m≠0，

所以k2=，即k=。

由于直线OP，OQ的斜率存在，且△＞0，得

0＜m2＜2且m2≠1。

设d为点O到直线l的距离，

则S△OPQ=d|PQ|=|x1﹣x2||m|=，

所以S△OPQ的取值范围为（0，1）。