幂函数的概念、解析式、定义域、值域
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题型：简答题

简答题 · 12 分

在斜三棱柱中，侧面，,,,.

（1）求证：；

（2）在侧棱上确定一点，使得二面角的大小为.

正确答案

见解析

解析

（1）证：，

，即有；

又，为中点，则

（2）如图所示以点为坐标系原点，为轴，为轴，

建立空间直角坐标系,则有

，设，且，即有，

所以点坐标为.

由条件易得面地一个法向量为

设平面地一个法向量为，

由可得令，则有，

则,得

所以，当时，二面角的大小为

知识点

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题型：简答题

简答题 · 12 分

如图，四边形与均为菱形，，且.

（1）求证：；

（2）求证：；

（3）求二面角的余弦值。

正确答案

见解析

解析

（1）证明：设AC与BD相交于点O，连结FO.

因为四边形ABCD为菱形，所以，且O为AC中点。

又FA=FC，所以. ………………………………………2分

因为，

所以. ………………………………………………3分

（2）证明：因为四边形与均为菱形，

所以

因为

所以

又，

所以平面

又

所以. ……………………………………6分

（3）解：因为四边形BDEF为菱形，且，所以为等边三角形。因为

为中点，所以由（Ⅰ）知，故

由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系.

设AB=2。因为四边形ABCD为菱形，，则BD=2，所以OB=1，.

所以.………………8分

所以.

设平面BFC的法向量为则有

所以取，得. …………………………10分

易知平面的法向量为.

由二面角A-FC-B是锐角，得.

所以二面角A-FC-B的余弦值为.…………………………………………12分

知识点

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题型：单选题

单选题 · 5 分

一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的

A外接球的半径为

B体积为

C表面积为

D外接球的表面积为

正确答案

解析

由三视图可知，这是侧面,高的三棱锥，,所以三棱锥的体积为，设外接球的圆心为O半径为，则，在直角三角形中，,即，整理得，解得半径，所以外接球的表面积为，选D.

知识点

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题型：单选题

单选题 · 5 分

一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的体积是

正确答案

解析

由视图可知，这是一个高为2的三棱锥，V＝＝，故选B。

知识点

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题型：简答题

简答题 · 12 分

已知四棱锥底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝2，AB＝1，E。F分别是线段AB，BC的中点，

（1）证明：PF⊥FD；

（2）在PA上找一点G，使得EG∥平面PFD；。

（3）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值。

正确答案

见解析

解析

（1）证明：连接AF，则AF＝，DF＝，

又AD＝2，∴DF2＋AF2＝AD2，

∴DF⊥AF，又PA⊥平面ABCD，

∴DF⊥PA，又PA∩AF＝A，

……………4分

（2）过点E作EH∥FD交AD于点H，则EH∥平面PFD且AH＝AD。

再过点H作HG∥DP交PA于点G，则HG∥平面PFD且AG＝AP，

∴平面EHG∥平面PFD。

∴EG∥平面PFD。

从而满足AG＝AP的点G为所求。 ………………8分

（3）建立如图所示的空间直角坐标系，因为PA⊥平面ABCD ，所以是与平面所成的角。

又有已知得，所以，所以

。

设平面的法向量为，由

得，令，解得：。

所以。

又因为，

所以是平面的法向量，

易得，

所以。

由图知，所求二面角的余弦值为。 ……………………12分

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