幂函数的概念、解析式、定义域、值域
共1030题

幂函数的概念、解析式、定义域、值域
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题型：简答题

简答题 · 13 分

我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出.某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理（即确定一个居民月均用水量标准〜用水量不超过a的部分按照平价收费，超过a的部分按照议价收费）.为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了 100位居民某年的月均用水量(单位:t)，制作了频率分布直方图，

（1）由于某种原因频率分布直方图部分数据丢失，请在图中将其补充完整；

（2）用样本估计总体，如果希望80%的居民每月的用水量不超出标准，则月均用水量的最低标准定为多少吨，并说明理由；

（3）若将频率视为概率，现从该市某大型生活社区随机调查3位居民的月均用水量(看作有放回的抽样），其中月均用水量不超过（2）中最低标准的人数为x，求x的分布列和均值.

正确答案

见解析

解析

（1） ………3分

（2）月均用水量的最低标准应定为2.5吨.样本中月均用水量不低于2.5吨的居民有20位，占样本总体的20%，由样本估计总体，要保证80%的居民每月的用水量不超出标准，月均用水量的最低标准应定为2.5吨.………6分

（3）依题意可知,居民月均用水量不超过（2）中最低标准的概率是，

则，，

， ……………9分

分布列为

…11分

………………13分

知识点

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题型：单选题

单选题 · 5 分

已知函数对任意R都有，的图象关于点对称，且，则

B-4

C-8

D-16

正确答案

解析

由的图象关于点对称可知，关于点对称，即为奇函数. 令可知，，进而，又可知，所以，可知是一个周期为12的周期函数，所以.故选B.

知识点

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题型：简答题

简答题 · 7 分

设函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若存在实数，使得成立，求实数的取值范围。

正确答案

见解析

解析

（1）当时，由得，所以；

当时，由得，所以；

当时，由得，所以.…………2分

综上不等式的解集.………………3分

（2）， …………………4分

由柯西不等式得，

，…………………5分

当且仅当时取“=”，

的取值范围是.……………………7分

知识点

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题型：简答题

简答题 · 12 分

已知分别为椭圆的左右焦点，分别为其左右顶点，过的直线与椭圆相交于两点. 当直线与轴垂直时，四边形的面积等于2，且满足.

（1）求此椭圆的方程；

（2）当直线绕着焦点旋转但不与轴重合时，求的取值范围。

正确答案

（1）

（2）

解析

（1）当直线与x轴垂直时，由，得.

又,所以，即，又，

解得. 因此该椭圆的方程为.(4分)

（2）设，而，

所以，，

，.

从而有.(6分)

因为直线过椭圆的焦点，所以可以设直线的方程为，则

由消去并整理，得，

所以，.(8分)

进而，，

可得.(10分)

令，则. 从而有，而，所以可以求得的取值范围是.(12分)

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题型：单选题

单选题 · 5 分

已知，，则等于

正确答案

解析

由题意可知，，.故选B.

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题型：简答题

简答题 · 10 分

已知直线:（t为参数），曲线:。

（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（2）求直线被曲线所截的弦长。

正确答案

（1）C1：3x+4y+1=0，C2：x2+y2-x+y=0

（2）

解析

（1）把直线化成普通方程得，…2分

把曲线：化成，

∴其普通方程为…………………5分

（2）由（1）知曲线是以（1/2，－1/2）为圆心，半径为的圆，

∴圆心到直线的距离d=1/10, ∴弦长为…………10分

知识点

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题型：简答题

简答题 · 7 分

已知关于的不等式：的整数解有且仅有一个值为2.

（1）求整数的值;

（2）已知，若，求的最大值

正确答案

见解析

解析

（1），得

不等式的整数解为2，

又不等式仅有一个整数解2， ……3分

（2）显然

由柯西不等式可知：

所以即

当且仅当时取等号，最大值为 ………7分

知识点

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题型：填空题

填空题 · 5 分

正确答案

解析

，

等于单位圆面积的，，

，

知识点

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题型：填空题

填空题 · 5 分

为双曲线的左右焦点，过点作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，满足，则此双曲线的渐近线方程为

正确答案

解析

由双曲线的性质可推得，则，

在△中，，，

，由余弦定理可知

，又，

可得，即，因此渐近线方程为.

知识点

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题型：简答题

简答题 · 13 分

如图，四边形是矩形，平面，四边形是梯形，，点是的中点，.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

正确答案

见解析

解析

（1）证明：连结，交于点，

∴点是的中点.

∵点是的中点，

∴是的中位线。

∴

∵平面，平面，

∴平面.………………………5分

（2）解：四边形是梯形，，

又四边形是矩形，，又，

又，。在中，，由可求得 ……………… 6分

以为原点，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系.… 7分

∴，，，，

∴，，. 设平面的法向量，

∴，. ∴ 令，则，.

∴. 又是平面的法向量，

∴ 如图所示，二面角为锐角.

∴二面角的余弦值是…………………………13分

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