- 幂函数的概念、解析式、定义域、值域
- 共1030题
在平面直角坐标系xOy中,直角三角形ABC的三个顶点都在椭圆上,其中
为直角顶点。若该三角形的面积的最大值为
,则实数
的值为 。
正确答案
3
解析
设AB的方程为:,则AC的方程为:
,由
得
,解得
用“
”替换“
”得
故
所以,
令,则
(当且仅当
时等号成立),
由得
解得
或
(舍去),所以
。
知识点
已知,函数
,其中
。
(1)当时,求
的最小值;
(2)在函数的图像上取点
,记线段PnPn+1的斜率为kn ,
,对任意正整数n,试证明:
(ⅰ);
(ⅱ)。
正确答案
见解析
解析
(1)时,
,求导可得
……………3分
所以,在
单调递增,故
的最小值是
。…………5分
(2)依题意,。 ……………6分
(ⅰ)由(1)可知,若取,则当
时
,即
。
于是 ,即知
。…………8分
所以 。 ……………9分
(ⅱ)取,则
,求导可得
当时,
,故
在
单调递减。
所以,时,
,即
。……………12分
注意到,对任意正整数,
,于是
,即知
。 ……………13分
所以 。 ……………14分
知识点
已知矩阵M
(1) 求矩阵M的逆矩阵;
(2)求矩阵M的特征值及特征向量;
正确答案
见解析
解析
(1)
(2)矩阵A的特征多项式为,
令,得矩阵
的特征值为
或
,
当时 由二元一次方程
得
,令
,则
,
所以特征值对应的特征向量为
。
当时 由二元一次方程
得
,令
,则
,
所以特征值对应的特征向量为
。
知识点
已知,则
的值为
正确答案
解析
由得,
,
所以。
知识点
已知函数.
(1)若, 求
+
在
[2,3]上的最小值;
(2) 若时,
, 求
的取值范围;
(3)求函数在
[1,6]上的最小值.
正确答案
见解析
解析
解:(1)因为,且
[2,3],所以
,
当且仅当x=2时取等号,所以在
[2,3]上的最小值为
(2)由题意知,当时,
,即
恒成立…
所以,即
对
恒成立,
则由,得所求a的取值范围是
(3) 记,则
的图象分别是以(2a-1,0)和(a,1)为顶点开口向上的V型线,且射线的斜率均为
.
①当,即
时,易知
在
[1,6]上的最小值为
②当a<1时,可知2a-1<a,所以
(ⅰ)当,得
,即
时,
在
[1,6]上的最小值为
(ⅱ)当,得
,即
时,
在
[1,6]上的最小值为
③当时,因为2a-1>a,可知
,
(ⅰ)当,得
,即
时,
在
[1,6]上的最小值为
(ⅱ)当且
时,即
,
在
[1,6]上的最小值为
(ⅲ)当时,因为
,所以
在
[1,6]上的最小值
为
综上所述, 函数在
[1,6]上的最小值为
知识点
某班级共派出个男生和
个女生参加学校运动会的入场仪式, 其中男生甲为领队. 入场时,领队男生甲必须排第一个, 然后女生整体在男生的前面, 排成一路纵队入场, 共有
种排法;入场后, 又需从男生(含男生甲)和女生中各选一名代表到主席台服务, 共有
种选法。
(1)试求和
;
(2)判断与
的大小
, 并用数学归纳法证明。
正确答案
见解析
解析
(1)解:
(2)因为,
,所以
,
,
,…,由此猜想:当
时,都有
,即
下用数学归纳法证明.
① 当n=1时,该不等式显然成立。
② 假设当时,不等式成立,即
,则当
时,
, 要证当
时不等式成立,
只要证:, 只要证:
令,因为
,所以
在
上单调递减,
从而, 而
,所以
成立,
则当时, 不等式也成立。
综合①②, 得原不等式对任意的均成立
知识点
设函数
(1)求的最大值;
(2)证明:当时,
;
(3)证明:当,且
,
时,
.
正确答案
见解析
解析
(1) ,
递增;
递减;
.
(2)令,则
由(1)知:,
,
递减。
,
,
,
.
(3),
由柯西不等式知:
,
,由(Ⅱ)知:
,
,
,
知识点
设正四棱锥的侧棱长为1,则其体积的最大值为 。
正确答案
;
解析
法1 设正四棱锥的底面边长为,则体积
,记
,
,利用导数可求得当
时,
,此时
;
法2 设正四棱锥的侧棱与底面所成角为,则
,
,记
,利用导数可求得当
时,
,此时
;
知识点
已知a、b、c均为正实数,且a+b+c=1,求+
+
的最大值。
正确答案
见解析。
解析
因为a、b、c>0,
所以(+
+
)2=(
•1+
•1+
•1)2
≤((a+1)+(b+1)+(c+1))(1+1+1)=12,
于是+
+
≤2
,
当且仅当=
=
,即a=b=c=
时,取“=”。
所以,+
+
的最大值为2
…10分。
知识点
已知中,
,
是
外接圆劣弧
上的点(不与点
重合),延长
至点
求证:的延长线平分
正确答案
见解析
解析
设为
延长线上一点,因为
四点共圆,所以
,
又,所以
, …
因为, 所以
,又对顶角
,
故, 所以
的延长线平分
.
知识点
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