热门试卷

解：（1）令x=1，则a0=2n，令x=2，

则，∴Sn=3n﹣2n；

（2）要比较Sn与（n﹣2）2n+2n2的大小，即比较：3n与（n﹣1）2n+2n2的大小，

当n=1时，3n＞（n﹣1）2n+2n2；当n=2，3时，3n＜（n﹣1）2n+2n2；

当n=4，5时，3n＞（n﹣1）2n+2n2；

猜想：当n≥4时n≥4时，3n＞（n﹣1）2n+2n2，下面用数学归纳法证明：

由上述过程可知，n=4n=4时结论成立，

假设当n=k（k≥4）n=k，（k≥4）时结论成立，即3n＞（n﹣1）2n+2n2，

两边同乘以3 得：3k+1＞3[（k﹣1）2k+2k2]=k2k+1+2（k+1）2+[（k﹣3）2k+4k2﹣4k﹣2]

而（k﹣3）2k+4k2﹣4k﹣2=（k﹣3）2k+4（k2﹣k﹣2）+6=（k﹣2）2k+4（k﹣2）（k+1）+6＞0∴3k+1＞[（k+1）﹣1]2k+1+2（k+1）2

即n=k+1时结论也成立，

∴当n≥4时，3n＞（n﹣1）2n+2n2成立。

综上得，当n=1时，3n＞（n﹣1）2n+2n2；

当n=2，3时，3n＜（n﹣1）2n+2n2；当n≥4，n∈N*时，3n＞（n﹣1）2n+2n2

解析：（1）依题意：。

∵f(x)在(0，＋∞)上递增，∴对x∈(0，＋∞)恒成立，

即对x∈(0，＋∞)恒成立，只需， …………2分

∵x＞0，∴，当且仅当时取“＝”，

∴，∴b的取值范围为， ………………4分

（2）当a＝1，b＝－1时，，其定义域是(0，＋∞)，

∴。

∵x＞0，∴当0＜x＜1时，f ′(x)＞0；当x＞1时，f ′(x)＜0。

∴函数f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减，…………6分

∴当x＝1时，函数f(x)取得最大值，其值为；

当x≠1时，f(x)＜f(1)，即f(x)＜0，∴函数f(x)只有一个零点，…………8分

（3）由已知得，

两式相减，得

，…………10分

由及2x0＝x1＋x2，得

令。

∵，∴φ(t)在(0，1)上递减，∴φ(t)＞φ(1)＝0。

∵x1＜x2，∴f ′(x0)＜0。 …………14分

延长交⊙与点，，

由相交弦定理得

，

又，，

故，，

所以，，

而，

所以△≌△。

（1），，

。                       ……2分

所以，时，，单调递增；

时，，单调递减。

所以，的单调递增区间为，单调递减区间为。    ……4分

（2）对任意正实数x1，x2，且x1<x2，取a=x1，则x2∈(x1，+∞)

由(1)得g(x1)>g(x2)，即g(x1)=f(x1)—x1f ’(x1)>f(x2)—x2f ’(x1)=g(x2)

所以，f(x2)—f(x1)<(x2—x1)f ’(x1) ……………………①；            ……6分

取，则，由（1）得，

即，

所以，……②。                  ……8分

综合①②，得。      ……9分

（3）由，

所以

=≤

                                         ……11分

又由（2）知，所以，……12分

。

所以，。     ……14分

（1）

（2）

当时，舍去

当时，，成立

当时，，成立

所以解集为

连接OC，则∠OAC=∠OCA，

又∵CA平分∠BAE，∴∠OAC=∠EAC，

于是∠EAC=∠OCA，∴OC∥AD。

又∵DC是⊙O的切线，

∴CD⊥OC，

∴CD⊥AE。