幂函数的概念、解析式、定义域、值域
共1030题

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题型：填空题

填空题 · 5 分

在平面直角坐标系xOy中，直角三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，其中为直角顶点。若该三角形的面积的最大值为，则实数的值为。

正确答案

解析

设AB的方程为：，则AC的方程为：，由得

，解得用“”替换“”得

故

所以，

令，则（当且仅当时等号成立），

由得解得或（舍去），所以。

知识点

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题型：简答题

简答题 · 14 分

已知，函数，其中。

（1）当时，求的最小值；

（2）在函数的图像上取点，记线段PnPn+1的斜率为kn ，，对任意正整数n，试证明：

（ⅰ）；

（ⅱ）。

正确答案

见解析

解析

（1）时，，求导可得

……………3分

所以，在单调递增，故的最小值是。…………5分

（2）依题意，。 ……………6分

（ⅰ）由（1）可知，若取，则当时，即。

于是，即知。…………8分

所以。 ……………9分

（ⅱ）取，则，求导可得

当时，，故在单调递减。

所以，时，，即。……………12分

注意到，对任意正整数，，于是

，即知。 ……………13分

所以。 ……………14分

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题型：单选题

单选题 · 5 分

已知，则的值为

正确答案

解析

由得，，

所以。

知识点

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题型：填空题

填空题 · 5 分

设正四棱锥的侧棱长为1，则其体积的最大值为。

正确答案

；

解析

法1 设正四棱锥的底面边长为，则体积，记，，利用导数可求得当时，，此时；

法2 设正四棱锥的侧棱与底面所成角为，则，，记，利用导数可求得当时，，此时；

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题型：简答题

简答题 · 10 分

已知a、b、c均为正实数，且a+b+c=1，求++的最大值。

正确答案

见解析。

解析

因为a、b、c＞0，

所以（++）2=（•1+•1+•1）2

≤（（a+1）+（b+1）+（c+1））（1+1+1）=12，

于是++≤2，

当且仅当==，即a=b=c=时，取“=”。

所以，++的最大值为2…10分。

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