- 幂函数的概念、解析式、定义域、值域
- 共1030题
过点P（1，1）的直线将圆x2+y2=4分成两段圆弧，要使这两段弧长之差最大，则该直线的方程为 。
正确答案
x+y﹣2=0
解析
如图所示，当过点P的直线与直径OP垂直时满足直线分成两段圆弧的弧长之差最大，
∵
故所求的直线方程为：y﹣1=﹣（x﹣1），化为x+y﹣2=0。
故答案为x+y﹣2=0。
知识点
已知（x+1）n=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）+a3（x﹣1）3+…+an（x﹣1）n，（其中n∈N*）
（1）求a0及
（2）试比较Sn与（n﹣2）2n+2n2的大小，并说明理由。
正确答案
见解析
解析
解：（1）令x=1，则a0=2n，令x=2，
则
（2）要比较Sn与（n﹣2）2n+2n2的大小，即比较：3n与（n﹣1）2n+2n2的大小，
当n=1时，3n＞（n﹣1）2n+2n2；当n=2，3时，3n＜（n﹣1）2n+2n2；
当n=4，5时，3n＞（n﹣1）2n+2n2；
猜想：当n≥4时n≥4时，3n＞（n﹣1）2n+2n2，下面用数学归纳法证明：
由上述过程可知，n=4n=4时结论成立，
假设当n=k（k≥4）n=k，（k≥4）时结论成立，即3n＞（n﹣1）2n+2n2，
两边同乘以3 得：3k+1＞3[（k﹣1）2k+2k2]=k2k+1+2（k+1）2+[（k﹣3）2k+4k2﹣4k﹣2]
而（k﹣3）2k+4k2﹣4k﹣2=（k﹣3）2k+4（k2﹣k﹣2）+6=（k﹣2）2k+4（k﹣2）（k+1）+6＞0∴3k+1＞[（k+1）﹣1]2k+1+2（k+1）2
即n=k+1时结论也成立，
∴当n≥4时，3n＞（n﹣1）2n+2n2成立。
综上得，当n=1时，3n＞（n﹣1）2n+2n2；
当n=2，3时，3n＜（n﹣1）2n+2n2；当n≥4，n∈N*时，3n＞（n﹣1）2n+2n2
知识点
已知函数
A
B
C
D
正确答案
解析
∵f（x）=e|x|+x2,∴f（-x）=e|-x|+（-x）2=e|x|+x2=f（x）
则函数f（x）为偶函数且在[0,+∞）上单调递增∴f（-x）=f（x）=f（|-x|）
∴f（3a-2）=f（|3a-2|）＞f（a-1）=f（|a-1|）,即|3a-2|＞|a-1|,两边平方得：8a2-10a+3＞0, 解得a＜
知识点
设曲线y=（ax﹣1）ex在点A（x0，y1）处的切线为l1，曲线y=（1﹣x）e﹣x在点B（x0，y2）处的切线为l2，若存在
正确答案
解析
解：函数y=（ax﹣1）ex的导数为y′=（ax+a﹣1）ex，
∴l1的斜率为
函数y=（1﹣x）e﹣x的导数为y′=（x﹣2）e﹣x
∴l2的斜率为
由题设有k1•k2=﹣1从而有
∴a（x02﹣x0﹣2）=x0﹣3
∵
又
故
x0=0时取得最大值为
x0=1时取得最小值为1。
∴
知识点
已知函数
（1）求
（2）对任意的正实数
（3）若对任意的
求证：
正确答案
见解析
解析
（1）
所以，
所以，
（2）对任意正实数x1，x2，且x1<x2，取a=x1，则x2∈(x1，+∞)
由(1)得g(x1)>g(x2)，即g(x1)=f(x1)—x1f ’(x1)>f(x2)—x2f ’(x1)=g(x2)
所以，f(x2)—f(x1)<(x2—x1)f ’(x1) ……………………①； ……6分
取
即
所以，
综合①②，得
（3）由
所以
=
又由（2）知
所以，
知识点
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