数列与函数的综合
共73题

· 数列与函数的综合

数列与函数的综合
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题型：简答题

简答题 · 16 分

22．已知数列与满足，.

（1）若，且，求数列的通项公式；

（2）设的第项是最大项，即（），求证：数列的第项是最大项；

（3）设，（），求的取值范围，使得有最大值与最小值，且.

正确答案

（1）

（2）详见解析

（3）

解析

因为，，所以，即.

故的第项是最大项.

（3）因为，所以，

当时，

当时，，符合上式.

所以.

因为，所以，.

①当时，由指数函数的单调性知，不存在最大、最小值；

②当时，的最大值为，最小值为，而；

③当时，由指数函数的单调性知，的最大值，最小值，由及，得.

综上，的取值范围是.

知识点

由递推关系式求数列的通项公式数列与函数的综合数列与不等式的综合

题型：单选题

单选题 · 5 分

5．等比数列中，，则数列的前10项和等于（）

D10

正确答案

解析

等比数列中，，

所以=，所以选C

考查方向

等比数列的性质，等比数列求前n项和

解题思路

利用等比数列项和项数的关系，进而求解

易错点

利用等比数列前N项和公式求解，找a1和公比q,使试题复杂。

知识点

等差数列的前n项和及其最值等比数列的基本运算数列与函数的综合

题型：简答题

简答题 · 12 分

17.设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3=7且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）令bn=lnan，n=1，2，…，求数列{bn}的前n项和Tn．

正确答案

（Ⅰ）；

（Ⅱ）.

解析

（I）设{an}是公比q大于1的等比数列，∵a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，

∴6a2=a3+4+a1+3，化为6a1q=+7+a1，又S3=a1（1+q+q2）=7，

联立解得a1=1，q=2．∴an=2n﹣1．

（II）bn=lnan=（n﹣1）ln2，∴数列{bn}的前n项和Tn=ln2．

考查方向

等比数列的通项公式及等差数列的前项和.

解题思路

（Ⅰ）由于是公比大于的等比数列，且构成等差数列，不难构造基本量的方程组，通过解方程组求得的值，进而求出通项公式；

（Ⅱ）把第（Ⅰ）问求得的代入化简可得，显然是等差数列，通过等差数列的前项和公式即可得解.

易错点

本题在第二问构造中易出现错误

知识点

由数列的前几项求通项等差数列的前n项和及其最值等比数列的基本运算数列与函数的综合

题型：填空题

填空题 · 5 分

16．数列满足，若为等比数列，则的取值范围是_______

正确答案

解析

第一种情况：当时，则，不能构成等比数列；

第二种情况：当时，，在此基础上再来看与的大小当时，，不能构成等比数列；当时，，，，…由此得到后面各项应该都满足，所以能够使得数列为一个公比为2的等比数列，所以得到

考查方向

本题考察了分段函数的定义和等比数列的概念，函数与数列的结合，常常考察函数的周期性，以及递归数列的通项公式的求法，难度中档，属高考热点之一

解题思路

由分段函数可知，若数列为等比数列，则它的公比为2，要使得数列是公比为2的等比数列，则从数列的第二项开始，都应该满足分段函数的2式，也就是

易错点

不能理解分段函数的意思

知识点

等比数列的性质及应用数列与函数的综合

题型：单选题

单选题 · 3 分

12.数列{an}的通项公式为an =，关于{an}有如下命题：

①{an}为先减后增数列；

②{an}为递减数列：

③

④

其中正确命题的序号为

A①③

B①④

C②③

D②④

正确答案

解析

先取对数得，

由此可知an的单调性与的相同，

故此先研究的单调性。

构造函数（x>0），

，

所以，

由此可知，单调递增，

又因，

所以，

因此函数单调递减，

故{an}为递减数列，

且，

故选C。

考查方向

本题主要考查了数列的单调性与有界性

解题思路

首先取对数得，由此可知an的单调性与的相同，故此先研究的单调性。构造函数，通过二次求导便可研究它的单调性，进而得到数列的有界性。

易错点

对于数列单调性无从下手。

知识点

数列与函数的综合数列与不等式的综合

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