热门试卷

（1）因为是数列，且

所以，

所以,

所以，解得,

所以．         

（2） 假设数列的项都是正数，即，

所以，，与假设矛盾．

故数列的项不可能全是正数,

假设数列的项都是负数，

则而,与假设矛盾,

故数列的项不可能全是负数

（3）由(Ⅱ)可知数列中项既有负数也有正数，

且最多连续两项都是负数，最多连续三项都是正数．

因此存在最小的正整数满足（）．

设，则

．

,

故有, 即数列是周期为9的数列

由上可知这9项中为负数，这两项中一个为正数，另一个为负数，其余项都是正数．

因为,

所以当时，;

当时，这项中至多有一项为负数，而且负数项只能是,

记这项中负数项的个数为，

当时，若则，故为负数，

此时，；

若则，故为负数．

此时，，

当时，必须为负数，，,

综上可知的取值集合为。

本题属于数列与不等式的综合应用题，题目的难度是偏难，本题的关键是：

（1）、利函数的性质求出数列的通项公式；

（2）、利用等比数列的求和公式求出前n项和的表达式，并求出最小值；

（3）、根据数学归纳法，分类讨论出k的取值范围。

试题分析：本题属于新定义题目的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）直接按照步骤来求，（2）要注意分类讨论思想的应用

（Ⅰ）解：；

（Ⅱ）解：考察排列 与排列，

因为数对与中必有一个为逆序对（其中），

且排列D中数对共有个，

所以．

所以排列与的逆序对的个数的算术平均值为．

而对于数字1，2，，n的任意一个排列A：，都可以构造排列A1：，且这两个排列的逆序对的个数的算术平均值为．

所以所有的算术平均值为．

（Ⅲ）证明：①当，即相邻时，

不妨设，则排列为，

此时排列与排列A：相比，仅多了一个逆序对，

所以，

所以为奇数．

②当，即不相邻时，

假设之间有m个数字，记排列A：，

先将向右移动一个位置，得到排列A1：，

由①，知与的奇偶性不同，

再将向右移动一个位置，得到排列A2：，

由①，知与的奇偶性不同，

以此类推，共向右移动m次，得到排列Am：，

再将向左移动一个位置，得到排列Am+1：，

以此类推，共向左移动m+1次，得到排列A2m+1：，

即为排列，

由①，可知仅有相邻两数的位置发生变化时，排列的逆序对个数的奇偶性发生变化，

而排列A经过次的前后两数交换位置，可以得到排列，

所以排列A与排列的逆序数的奇偶性不同，

所以为奇数．

综上，得为奇数。