数列与函数的综合_章节学习

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知函数，

24.证明：当；

25.证明：当时，存在,使得对

26.确定k的所以可能取值，使得存在，对任意的恒有．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）详见解析

解析

解法一：（1）令则有

当 ,所以在上单调递减；

故当时，即当时，．

考查方向

导数的综合应用．

解题思路

求导，然后分类讨论求单调性

易错点

导数和函数的关系掌握不牢，不会利用导数判断函数的单调性

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）详见解析

解析

（2）令

则有

当 ,所以在上单调递增,

故对任意正实数均满足题意.

当时，令得．

取对任意恒有,所以在上单调递增, ,即.

综上，当时，总存在,使得对任意的恒有．

考查方向

导数的综合应用．

解题思路

先构造函数，然后求导判断单调区间，利用函数的单调性证明不等式。

易错点

不会构造函数，不会建立函数与导数之间的联系

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅲ）．

解析

（3）当时，由（1）知，对于故，

，

令，

则有

故当时，

,在上单调递增，故,即,所以满足题意的t不存在.

当时，由（2）知存在,使得对任意的任意的恒有．

此时,

令，

则有

故当时，

,在上单调递增，

故,即,记与中较小的为，

则当，故满足题意的t不存在.

当，由（1）知，，

令，则有

当时，,所以在上单调递减，故,

故当时，恒有,此时，任意实数t满足题意.

综上，.

考查方向

导数的综合应用．

解题思路

分K大于1.K小于1和K等于1把不等式的左边去掉绝对值，然后再进行分类讨论，可得答案。

易错点

计算能力弱，求导分类讨论或重或漏

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

已知，函数记为的从小到大的第（）个极值点。

27.证明：数列{}是等比数列：

28.若对一切，||恒成立，求的取值范围。

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

令，由，得，即，

而对于，当时，

若，即，则，

因此，在区间与上，的符号总相反，于是当时，取得极值，所以，此时，

，易知，而

是常数，

故数列是首项为，公比为的等比数列。

解析

见答案

考查方向

本题主要考察三角函数的性质、导数的运用和恒成立问题，意在考察考生综合解决问题的能力。

解题思路

由题，令，求出函数的极值点，根据等比数列定义即可得到结果；

易错点

字母太多，导致感觉混乱没有思路；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

对一切恒成立，即恒成立，也即恒成立，

设，则，令得，

当时，所以在区间上单调递减；

当时，所以在区间上单调递增；

因为，且当时，，所以

，

因此恒成立，当且仅当，解得，，

故实数a的取值范围是。

考查方向

本题主要考察三角函数的性质、导数的运用和恒成立问题，意在考察考生综合解决问题的能力。

解题思路

由题问题等价于恒成立问题，设，然后运用导数的知识得到，求得，得到a的取值范围。

易错点

不会构造函数导致没有思路。

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

已知，函数记为的从小到大的第（）个极值点。

27.证明：数列{}是等比数列：

28.若对一切，||恒成立，求的取值范围。

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

令，由，得，即，

而对于，当时，

若，即，则，

因此，在区间与上，的符号总相反，于是当时，取得极值，所以，此时，

，易知，而

是常数，

故数列是首项为，公比为的等比数列。

解析

见答案

考查方向

本题主要考察三角函数的性质、导数的运用和恒成立问题，意在考察考生综合解决问题的能力。

解题思路

由题，令，求出函数的极值点，根据等比数列定义即可得到结果；

易错点

字母太多，导致感觉混乱没有思路；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

对一切恒成立，即恒成立，也即恒成立，

设，则，令得，

当时，所以在区间上单调递减；

当时，所以在区间上单调递增；

因为，且当时，，所以

，

因此恒成立，当且仅当，解得，，

故实数a的取值范围是。

考查方向

本题主要考察三角函数的性质、导数的运用和恒成立问题，意在考察考生综合解决问题的能力。

解题思路

由题问题等价于恒成立问题，设，然后运用导数的知识得到，求得，得到a的取值范围。

易错点

不会构造函数导致没有思路。

1

题型：简答题

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简答题 · 16 分

已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意正整数n都有an＝(－1)nSn ＋pn(p为常数，p≠0)．

25.求p的值；

26.求数列{an}的通项公式；

27.设集合An＝{a2n－1，a2n}，且bn，cnAn，记数列{nbn}，{ncn}的前n项和分别为Pn，Qn．

若b1≠c1，求证：对任意n∈N*，Pn≠Qn．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）p＝－；

解析

解：（1）由a1＝－S1＋p，得a1＝．

由a2＝S2＋p2，得a1＝－p2，所以＝－p2．

又p≠0，所以p＝－．

考查方向

本题考查数列的通项公式的求法，注意运用分类讨论的思想方法，考查数列的求和方法：错位相减法，考查化简整理的运算能力，

解题思路

本题考查数列求通项、求和，解题步骤如下：

（1）令n=1，n=2，可得p的方程，由p不为0，可得p的值；

易错点

错位相减法容易计算错误

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）p＝－；（2）an＝

解析

（2）由an＝(－1)nSn＋(－)n，得

①＋②得an＋an＋1＝(－1)n(－an＋1)＋

当n为奇数时，an＋an＋1＝an＋1，

所以an＝－．

当n为偶数时，an＋an＋1＝－an＋1＋，

所以an＝－2an＋1＋

所以an＝

考查方向

本题考查数列的通项公式的求法，注意运用分类讨论的思想方法，考查数列的求和方法：错位相减法，考查化简整理的运算能力，

解题思路

本题考查数列求通项、求和，解题步骤如下：

（2）讨论n为偶数，或奇数，将n换为n-1，两式相加可得所求通项公式；

易错点

错位相减法容易计算错误

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

解：（3）An＝，由于b1≠c1，则b1 与c1一正一负，

不妨设b1＞0，则b1＝，c1＝－．

则Pn＝b1＋2b2＋3b3＋…＋nbn≥．

设S＝，则

两式相减得×＜．

所以S＜，所以Pn≥．

因为Qn= c1＋2 c 2＋3 c 3＋…＋n c n≤＜0，

所以Pn≠Qn．

考查方向

本题考查数列的通项公式的求法，注意运用分类讨论的思想方法，考查数列的求和方法：错位相减法，考查化简整理的运算能力，

解题思路

（3）求得An={a2n-1，a2n}= An＝，讨论bn，cn的情况，运用错位相减法求和，即可得证

易错点

错位相减法容易计算错误

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

设(1－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，n∈N*，n≥2．

33.设n＝11，求|a6|＋|a7|＋|a8|＋|a9|＋|a10|＋|a11|的值；

34.设bk＝ak＋1(k∈N，k≤n－1)，Sm＝b0＋b1＋b2＋…＋bm(m∈N，m≤n－1)，求| |的值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）1024；

解析

解：（1）因为ak＝(－1)k ，

当n＝11时，|a6|＋|a7|＋|a8|＋|a9|＋|a10|＋|a11|＝

＝＝1024．

考查方向

本题考查了二项式定理和性质应用，考查化简整理运算能力

解题思路

本题考查二项式定理和性质，解题步骤如下：

（1）由二项式定理可得ak＝(－1)k，再由二项式系数的性质，可得所求和为210；

＝(－1)k－1 －(－1)k ，讨论m=0和1≤m≤n-1时，计算化简即可得到所求值．

易错点

二项式定理和性质不会熟练应用，容易计算错误

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）1

解析

（2）bk＝＝＝，

当1≤k≤n－1时，bk＝(－1)k＋1 ＝ (－1)k＋1 ＝(－1)k＋1＋(－1)k＋1

＝(－1)k－1－(－1)k ．

当m＝0时，||＝||＝1．

当1≤m≤n－1时，

Sm＝－1＋ [(－1)k－1 ，

所以||＝1．综上，||＝1．

考查方向

本题考查了二项式定理和性质应用，考查化简整理运算能力

解题思路

本题考查二项式定理和性质，解题步骤如下：

（2）由组合数的阶乘公式可得bk＝ (－1)k＋1 ，再由组合数的性质，可得当1≤k≤n－1时，bk

＝(－1)k－1 －(－1)k ，讨论m=0和1≤m≤n-1时，计算化简即可得到所求值．

易错点

二项式定理和性质不会熟练应用，容易计算错误

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解析

考查方向

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易错点

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易错点