热门试卷

解析：

（1），，，当时，

=2，所以为等比数列。 ，。

（2） 由（1）可得 

；   ，    ，

所以，且，所以的最小值为

（3）由（1）当时，

当时，，，

所以对正整数都有。

由，，(且)，只能是不小于3的奇数。

①当为偶数时，，

因为和都是大于1的正整数，

所以存在正整数，使得，，

,，所以且，

相应的，即有，为“指数型和”；

②当为奇数时，，由于是个奇数之和，

仍为奇数，又为正偶数，所以 不成立，此时没有“指数型和”。

（1）显然的定义域为，，

令，

ⅰ）当时：在区间上，恒成立，故的增区间为；

ⅱ）当时：在区间上，恒成立，故的减区间为；

在区间上，恒成立，故的增区间为.

（2）ⅰ）时，，所以；

ⅱ）时，易知，

于是：，，

由（1）可知， 下证，

即证明不等式在上恒成立。

（法一）由上可知：不等式在上恒成立，

若，则，

故，

即当时，，从而，

故当时，恒成立，即.

（法二）令，，则，列表如下：

由表可知：当时，，

即恒成立，即.

由于，且，

故函数区间内必存在零点。

又当时，，

于是指数函数为增函数为增函数，

同理当时，，

于是指数函数为减函数也为增函数，

于是，当时， 必为增函数，

从而函数在区间内必存在唯一零点，不妨记为，则，

易知当时，，此时单调递减；

当时，，此时单调递增，

又易知，故；

综上，当时， 在上的最大值为.

（3）证法一：令， 显然有：，，

则不等式.

注意到：，且，，即，且，

于是，，

故，

从而，即，又，

故原不等式成立，证毕.

证法二：同上可将不等式化为：,

即，令，则等价于证明：当时，有成立，

又，

故，

于是，即得证，

又，故原不等式成立，证毕。

（1）解：当时，排列的生成列为；         ………………2分

排列的母列为。                          ………………3分

（2）证明：设的生成列是；的生成列是与。

从右往左数，设排列与第一个不同的项为与，即：，，，，。

显然 ，，，，下面证明：。     ………………5分

由满意指数的定义知，的满意指数为排列中前项中比小的项的个数减去比大的项的个数。

由于排列的前项各不相同，设这项中有项比小，则有项比大，从而。

同理，设排列中有项比小，则有项比大，从而。

因为 与是个不同数的两个不同排列，且，

所以 ， 从而 。

所以排列和的生成列也不同。                ………………8分

（3）证明：设排列的生成列为，且为中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以 。              ………………9分

进行一次变换后，排列变换为，设该排列的生成列为。

所以

。                                                   ………………11分

因此，经过一次变换后，整个排列的各项满意指数之和将至少增加。

因为的满意指数，其中，

所以，整个排列的各项满意指数之和不超过，

即整个排列的各项满意指数之和为有限数，

所以经过有限次变换后，一定会使各项的满意指数均为非负数。      ………………13分