数列与函数的综合
共73题

· 数列与函数的综合

数列与函数的综合
共73题

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题型：简答题

简答题 · 12 分

在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为，且，．

17.求与；

18.证明：．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

设的公差为，因为所以解得或（舍），．故，．

考查方向

等差数列的通项公式；数列求和；利用数列证明不等式

解题思路

第一问根据前N项和求通项公式，第二问用裂项相消的办法证明不等式

易错点

相关性质掌握不好；不会求数列的和

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

因为，所以．故

．因为，所以，于是，

所以．即．

考查方向

等差数列的通项公式；数列求和；利用数列证明不等式

解题思路

第一问根据前N项和求通项公式，第二问用裂项相消的办法证明不等式

易错点

相关性质掌握不好；不会求数列的和

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知表示不小于的最小整数，例如.

27.设,,若，求实数的取值范围；

28.设，在区间上的值域为，集合中元素的个数为，求证：；

29.设（），，若对于，都有，求实数的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1），

解析

（1）因为在区间上单调递增，

所以

进而的取值集合为

由已知可知在上有解，因此，

考查方向

本题主要考查函数的性质，能成立问题、极限的求法等知识，意在考查考生的分析问题、解决问题，转化与划归的能力。

解题思路

根据函数的单调性求出的取值集合为，进而可得到答案；

易错点

1.错将能成立问题转化为恒成立问题处理；2.对于题中出现的字母太多导致无法入手。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）略；

解析

（2）当时，，

所以的取值范围为区间

进而在上函数值的个数为个，

由于区间与没有共同的元素，

所以中元素个数为，得

因此，

考查方向

本题主要考查函数的性质，能成立问题、极限的求法等知识，意在考查考生的分析问题、解决问题，转化与划归的能力。

解题思路

先根据题意确定，然后带入求出极限；

易错点

1.错将能成立问题转化为恒成立问题处理；2.对于题中出现的字母太多导致无法入手。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

（3）由于，

所以，并且当时取等号，

进而时，

由题意对任意，恒成立.

当，恒成立，因为，所以

综上，实数的取值范围为 .

考查方向

本题主要考查函数的性质，能成立问题、极限的求法等知识，意在考查考生的分析问题、解决问题，转化与划归的能力。

解题思路

先求出，进而分类确定a的取值范围。

易错点

1.错将能成立问题转化为恒成立问题处理；2.对于题中出现的字母太多导致无法入手。

题型：简答题

简答题 · 20 分

已知数列满足：；

24.若，求的值；

25.若，记，数列的前n项和为，求证：

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

（1）

当时，解得

当时，无解所以，

考查方向

本题考查了递推关系、等比数列的通项公式及其前n项和公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题

解题思路

由数列满足的解析式，代入可得．

易错点

主要易错于递推关系找不出，

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

(2)方法1： ①

②

①/②得，因为

方法2：因为，

又因为，所以

所以，所以为单调递减数列

所以

，

所以：

考查方向

本题考查了递推关系、等比数列的通项公式及其前n项和公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题

解题思路

这里可以从两个方面进行分析

①直接找出的递推关系，进而得出通项公式，根据前n项和得出结论

②根据递推关系得出，且是递减数列，使用放缩法得出答案

易错点

主要易错于递推关系找不出，

题型：填空题

填空题 · 5 分

15．对于函数给出定义：

设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.

某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数，请你根据上面探究结果，计算= .

正确答案

2016

解析

,,,得.

,所以的“拐点”即对称中心为，所以.

设，

则，

两式相加得.

考查方向

本题主要考查给定信息的处理能力，导数, 函数的对称性，倒序相加求和等知识，意在考查考生理解问题解决问题的能力.

解题思路

1.先根据题中给出的信息求出的拐点；2.根据倒序相加法求出所求的式子的值。

易错点

1.不理解题中给出的新概念拐点是什么导致无法入手；2.不会根据对称中心转化为倒序相加求和。

知识点

函数性质的综合应用数列与函数的综合

题型：单选题

单选题 · 5 分

设函数的导函数，则数列的前n项和是（）

正确答案

解析

由的导函数为，结合，解出，所以，进而，所以其前项和为，故选A选项。

考查方向

本题主要考查了导数的运算和数列的求和方法，在近几年的各省高考题出现的频率较高，常单独命题或与等差数列给合，考查基本公式、运算和性质。

解题思路

由及求解出与的值，进而求出，再由裂项求和法求出的前项和。

易错点

本题易在数列求和运算上出错。

知识点

导数的运算数列与函数的综合

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