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题型:填空题
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填空题 · 5 分

如图,弦AB与CD相交于O内一点E,过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P,已知PD=2DA=2,则PE=__________.

正确答案

解析

∠C与∠A在同一个O中,所对的弧都是,则∠C=∠A。又PE∥BC,∴∠C=∠PED。∴∠A=∠PED。又∠P=∠P,∴△PED∽△PAE,则,∴PE2=PA·PD。又PD=2DA=2,∴PA=PD+DA=3,∴PE2=3×2=6,∴PE=

知识点

相似三角形的判定相似三角形的性质与圆有关的比例线段
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

如图,AD是⊙的切线,AC是⊙的弦,过C做AD的垂线,垂足为B,CB与⊙相交于点E,AE平分,且AE=2,则       ,         ,

.

正确答案

,3

解析

知识点

相似三角形的判定
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

如图所示,等腰三角形ABC的底边AC长0为6,其外接圆的半径长为5,则三角形ABC的面积是  。

正确答案

3

解析

∵等腰三角形ABC的底边AC长为6,其外接圆的半径长为5

∴半径,弦心距和弦长组成一个直角三角形,有勾股定理可知弦心距是 =4,

∴三角形的高是5﹣4=1,

∴三角形的面积是 ×1×6=3,

故答案为:3。

知识点

相似三角形的判定
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

如图,M是平行四边形ABCD的边AB的中点,直线l过点M分别交AD,AC于点E,F,若AD=3AE,则AF:FC=  。

正确答案

1:4

解析

如图所示,设直线l交CD的延长线于点N。

∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD。

∵M是边AB的中点,∴

,∴

故答案为1:4。

知识点

相似三角形的判定相似三角形的性质
1
题型:简答题
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简答题 · 10 分

如图,⊙O的半径OB垂直于直径AC,M为AO上一点,BM的延长线交⊙O于N,过N点的切线交CA的延长线于P。

(1)求证:PM2=PA•PC;

(2)若⊙O的半径为2,OA=OM,求MN的长。

正确答案

见解析

解析

(1)证明:连接ON,因为PN切⊙O于N,

∴∠ONP=90°,

∴∠ONB+∠BNP=90°

∵OB=ON,

∴∠OBN=∠ONB

因为OB⊥AC于O,

∴∠OBN+∠BMO=90°,

故∠BNP=∠BMO=∠PMN,PM=PN

∴PM2=PN2=PA•PC

(2)∵OM=2,BO=2,BM=4

∵BM•MN=CM•MA=((2)=8,

∴MN=2

知识点

相似三角形的判定
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

如图,点A、B、C都在O上,过点C的切线 交AB的延长线于点D,若AB = 5, BC = 3,CD = 6,则线段AC的长为_______

正确答案

解析

知识点

相似三角形的判定
1
题型:简答题
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简答题 · 10 分

选修41:几何证明选讲

如图14,P是⊙O外一点,PA是切线,A为切点,割线PBC与⊙O相交于点B,C,PC=2PA,D为PC的中点,AD的延长线交⊙O于点E,证明:

(1)BE=EC;

(2)AD·DE=2PB2.

正确答案

(1)连接AB,AC.由题设知PA=PD,

故∠PAD=∠PDA.

因为∠PDA=∠DAC+∠DCA,

∠PAD=∠BAD+∠PAB,

∠DCA=∠PAB,

所以∠DAC=∠BAD,从而BE=EC.

因此BE=EC.

(2)由切割线定理得PA2=PB·PC.

因为PA=PD=DC,所以DC=2PB,BD=PB.

由相交弦定理得AD·DE=BD·DC,

所以AD·DE=2PB2.

解析

(1)连接AB,AC.由题设知PA=PD,

故∠PAD=∠PDA.

因为∠PDA=∠DAC+∠DCA,

∠PAD=∠BAD+∠PAB,

∠DCA=∠PAB,

所以∠DAC=∠BAD,从而BE=EC.

因此BE=EC.

(2)由切割线定理得PA2=PB·PC.

因为PA=PD=DC,所以DC=2PB,BD=PB.

由相交弦定理得AD·DE=BD·DC,

所以AD·DE=2PB2.

知识点

相似三角形的判定相似三角形的性质圆的切线的性质定理的证明
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

如图,已知直线PD切⊙O于点D,直线PO交⊙O于点E,F.若,则⊙O的半径为();() .

正确答案

,15°

解析

知识点

相似三角形的判定相似三角形的性质弦切角与圆有关的比例线段
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

如图所示,C,D是半圆周上的两个三等分点,直径AB=4,CE⊥AB,垂足为E,BD与CE相交于点F,则BF的长为  。

正确答案

解析

∵C,D是半圆周上的两个三等分点,∴∠DBA=30°,

连接AD,则∠ADB=90°,∴AD=2,

过点D作DG⊥AB于G,在Rt△ADG中,∠ADG=30°,∴AG==1。

则AG=BE=1,∴=

故答案为

知识点

相似三角形的判定
1
题型:简答题
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简答题 · 10 分

如图,⊙O是等腰三角形ABC的外接圆,AB=AC,延长BC到点D,使得CD=AC,连接AD交⊙O于点E,连接BE与AC交于点F,求证BE平分∠ABC。

正确答案

见解析。

解析

∵CD=AC,

∴∠D=∠CAD。

∵AB=AC,

∴∠ABC=∠ACB。

∵∠EBC=∠CAD,

∴∠EBC=∠D。

∵∠ABC=∠ABE+∠EBC,∠ACB=∠D+∠CAD。

∴∠ABE=∠EBC,

即BE平分∠ABC。

知识点

相似三角形的判定
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