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题型:填空题
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填空题 · 5 分

如图,弦AB与CD相交于O内一点E,过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P,已知PD=2DA=2,则PE=__________.

正确答案

解析

∠C与∠A在同一个O中,所对的弧都是,则∠C=∠A。又PE∥BC,∴∠C=∠PED。∴∠A=∠PED。又∠P=∠P,∴△PED∽△PAE,则,∴PE2=PA·PD。又PD=2DA=2,∴PA=PD+DA=3,∴PE2=3×2=6,∴PE=

知识点

相似三角形的判定相似三角形的性质与圆有关的比例线段
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题型:填空题
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填空题 · 14 分

如图,已知直角三角形中,,以为直径作圆

,则_______________。

正确答案

解析

为直径所对的圆周角,则,在中,,由等面积法有,故得

知识点

相似三角形的性质
1
题型:简答题
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简答题 · 10 分

如图,圆O的直径AB=4,C为圆周上一点,BC=2,过C作圆O的切线l,过A作l的垂线AD,AD分别与直线l、圆O交于点D、E,求线段AE的长。

正确答案

见解析

解析

在Rt△ABC中,因为AB=4,BC=2,所以∠ABC=60°,

因为l为过C的切线,所以∠DCA=∠CBA,

所以∠DCA=∠ABC=60°,

又因为AD⊥DC,所以∠DAC=30°。

在△AOE中,因为∠EAO=∠DAC+∠CAB=60°,且OE=OA,

所以AE=AO=

知识点

相似三角形的性质
1
题型:简答题
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简答题 · 10 分

如图,AB是圆O的直径,D为圆O上一点,过D作圆O的切线交AB的延长线于点C,若DA = DC,求证:AB = 2 BC。

正确答案

见解析。

解析

连结OD,BD,

因为AB是圆O的直径,所以

因为DC是圆O的切线,所以

因为AD = DC,所以,于是△ADB△CDO,从而AB = CO,

即2OB = OB + BC,得OB = BC,故AB = 2 BC。

知识点

相似三角形的性质
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

如图,M是平行四边形ABCD的边AB的中点,直线l过点M分别交AD,AC于点E,F,若AD=3AE,则AF:FC=  。

正确答案

1:4

解析

如图所示,设直线l交CD的延长线于点N。

∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD。

∵M是边AB的中点,∴

,∴

故答案为1:4。

知识点

相似三角形的判定相似三角形的性质
1
题型:简答题
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简答题 · 10 分

如图,⊙为四边形的外接圆,且

长线上一点,直线与圆相切。

求证:

正确答案

见解析。

解析

连结是圆的切线,∴,        

,∴, ∴,           

是四边形的外接圆,∴,              

,                                         

,∴

知识点

相似三角形的性质
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

如图3,△ABC的外角平分线AD交外接圆于D,若,则DC=  ▲  .

正确答案

解析

知识点

相似三角形的性质
1
题型:简答题
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简答题 · 10 分

选修41:几何证明选讲

如图14,P是⊙O外一点,PA是切线,A为切点,割线PBC与⊙O相交于点B,C,PC=2PA,D为PC的中点,AD的延长线交⊙O于点E,证明:

(1)BE=EC;

(2)AD·DE=2PB2.

正确答案

(1)连接AB,AC.由题设知PA=PD,

故∠PAD=∠PDA.

因为∠PDA=∠DAC+∠DCA,

∠PAD=∠BAD+∠PAB,

∠DCA=∠PAB,

所以∠DAC=∠BAD,从而BE=EC.

因此BE=EC.

(2)由切割线定理得PA2=PB·PC.

因为PA=PD=DC,所以DC=2PB,BD=PB.

由相交弦定理得AD·DE=BD·DC,

所以AD·DE=2PB2.

解析

(1)连接AB,AC.由题设知PA=PD,

故∠PAD=∠PDA.

因为∠PDA=∠DAC+∠DCA,

∠PAD=∠BAD+∠PAB,

∠DCA=∠PAB,

所以∠DAC=∠BAD,从而BE=EC.

因此BE=EC.

(2)由切割线定理得PA2=PB·PC.

因为PA=PD=DC,所以DC=2PB,BD=PB.

由相交弦定理得AD·DE=BD·DC,

所以AD·DE=2PB2.

知识点

相似三角形的判定相似三角形的性质圆的切线的性质定理的证明
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题型:填空题
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填空题 · 5 分

如图,已知直线PD切⊙O于点D,直线PO交⊙O于点E,F.若,则⊙O的半径为();() .

正确答案

,15°

解析

知识点

相似三角形的判定相似三角形的性质弦切角与圆有关的比例线段
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题型:简答题
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简答题 · 10 分

如图,AB是⊙O的一条切线,切点为B,ADE、CFD都是⊙O的割线,AC=AB。

(1)证明:AC2=AD·AE

(2)证明:FG∥AC

正确答案

见解析。

解析

(1)∵是⊙的一条切线,

,又∵,∴           

(2)∵,∴,又∵

    ∴.

又∵四边形是⊙的内接四边形,

    ∴

.

知识点

相似三角形的性质
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