热门试卷

（1）

平面，平面

，又

又平面

（2）方法一：

建立如图所示的空间直角坐标系，设，那么；；；；

；；；

假设平面与平面的法向量分别为；，那么

；令

同理可以求得：

，

此时，正四棱柱是棱长为1的正方体，且

四棱锥的体积

方法二：

过点作于，连接,

容易证得，=

所以，且在中，由余弦定理可得：

所以==，又可证得：

,所以在,由等面积法：

=,

即

所以，

此时，正四棱柱是棱长为1的正方体，且

四棱锥的体积

（1）方法一：如图（1）连结AC、BD交于菱形的中心O，过O

作OG⊥AF，G为垂足. 连结BG、DG.

由BD⊥AC，BD⊥CF，得BD⊥平面ACF，  故BD⊥AF. 于是AF⊥平面BGD，

所以BG⊥AF，DG⊥AF，∠BGD为二面角B-AF-D的平面角. …………………3分

由FC⊥AC，FC=AC=2，得∠FAC，.

由OB⊥OG，OB=OD=，得∠BGD=2∠BGO.

即二面角B-AF-D的大小为.……………………………6分

方法二：设AC与BD交点为O，以O为坐标原点，分别以BD 、AC所在直线为x轴

y轴建立如图所示的空间直角坐标系

则A(0，－1，0)，B(，0，0)，D(，0，0)，F(0，1，2)

，，………………………………2分

设平面ABF，平面ADF的法向量分别为

设

由

令………………………………4分

同理可得   ∴  ∴

∴二面角B－AF－D的大小为…………………………………………………6分

（2）如图（2）连EB、EC、ED，设直线AF与直线CE相交于点H，

则四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD的公共部分为四棱锥H-ABCD.

过H作HP⊥平面ABCD，所以平面ACFE⊥平面ABCD，

从而.   ……………………………7分

由，得.……………………9分

又因为

故四棱锥的体积.……………12分

解析：（1）证：连结DB1 、DC1  ∵四边形DBB1D1为矩形，M为D1B的中点 ……2分

∴M是DB1与D1B的交点，且M为DB1的中点

∴MN∥DC1，∴MN∥平面DD1C1C                          ……………4分

（2）解：四边形为矩形，B.C在A1A2上，B1.C1在上，

且BB1∥CC1∥，A1B = CA2 = 2，，

∴∠BDC = 90°                                        ……………6分

以DB、DC、DD1所在直线分别为x.y.z轴建立直角坐标系，则

D(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，)，B1(2，0，)，C1(0，2，)

点M、N分别为D1B和B1C1的中点，∴

设平面D1MN的法向量为m = (x，y，z)，则

，

令x = 1得：

即                                         ……………8分

设平面MNC的法向量为n = (x，y，z)，则

，令z = 1得：

即                                     ……………10分

∵二面角D1－MN－C为直二面角    ∴m⊥n，故，解得：

∴二面角D1－MN－C为直二面角时，。     ……………12分