- 绝对值不等式的解法
- 共46题
不等式的解集为 ▲ .
正确答案
[-3,1]
解析
略
知识点
设命题“若对任意,,则”;命题“设M为平面内任意一点,则A、B、C三点共线的充要条件是存在角,使”,则( )
正确答案
解析
略
知识点
已知,函数.
(1)当时,求使成立的的集合;
(2)求函数在区间上的最小值。
正确答案
见解析
解析
(1)由题意,. …………………………………………1分
当时,,解得; ……………………………2分
当时,,解得. ……………………………3分
综上,所求解集为……………………4分
(2)①当时,在区间上,,其图像是开口向上的抛物线,对称轴是,
∵,
∴,
∴………………………6分
② 当时,在区间[1,2]上,,……8分
③当时,在区间[1,2]上,,其图像是开口向下的抛物线,对称轴是,
当即时,…………10分
当即时,
∴综上,…………………12分
知识点
已知函数是上的偶函数,则实数_____;不等式的解集为_____。
正确答案
,
解析
略
知识点
设
(1)当,求的取值范围;
(2)若对任意x∈R,恒成立,求实数的最小值。
正确答案
见解析
解析
解析:
(1)f(x)=|x-a|≤3,即a-3≤x≤a+3.依题意,
由此得a的取值范围是[0,2],
(2)f(x-a)+f(x+a)=|x-2a|+|x|≥|(x-2a)-x|=2|a|,
当且仅当(x-2a)x≤0时取等号, 解不等式2|a|≥1-2a,得a≥。
故a的最小值为。
知识点
设函数
(1)求不等式的解集;
(2)若关于x的不等式在上无解,求实数的取值范围。
正确答案
见解析
解析
解析:(1),所以原不等式转化为所以原不等式的解集为
(2)只要
由(1)知解得或
知识点
已知关于x的不等式|ax﹣1|+|ax﹣a|≥1的解集为R,求正实数a的取值范围。
正确答案
见解析。
解析
因为|ax﹣1|+|ax﹣a|≥|a﹣1|,故原不等式解集为R等价于|a﹣1|≥1.所以a≥2,或a≤0。
又因为a>0,所以a≥2,所以正实数a的取值范围为[2,+∞)。
知识点
已知函数
(1)解不等式
(2)若.求证:.
正确答案
见解析
解析
(1)f(x)+f(x+4)=|x-1|+|x+3|=
当x<-3时,由-2x-2≥8,解得x≤-5;
当-3≤x≤1时,f(x)≤8不成立;
当x>1时,由2x+2≥8,解得x≥3. …4分
所以不等式f(x)≤4的解集为{x|x≤-5,或x≥3}, …5分
(2)f(ab)>|a|f(),即|ab-1|>|a-b|, …6分
因为|a|<1,|b|<1,所以|ab-1|2-|a-b|2
=(a2b2-2ab+1)-(a2-2ab+b2)
=(a2-1)(b2-1)>0,
所以|ab-1|>|a-b|,故所证不等式成立, 10分
知识点
设函数
(1)解不等式;
(2)求函数的最小值。
正确答案
见解析。
解析
(1)
不等式等价于:
或或
解得:或
不等式的解集为或.
(2)根据函数的单调性可知函数的最小值在处取得,
此时.
知识点
已知关于的不等式:的整数解有且仅有一个值为2。
(1)求整数的值;
(2)已知,若,求的最大值。
正确答案
(1)m=4(2)
解析
(1),得
不等式的整数解为2,
又不等式仅有一个整数解2, …………5分
(2)显然
由柯西不等式可知;
所以即
当且仅当时取等号,最大值为 …………10分
知识点
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