热门试卷

（1）由题意，可设，（2分）

将，代入上式，

得，解得，，（6分）

（2）以为原点，为轴建立直角坐标系，则，。

设（），则，由，得，，于是，，（10分）

于是，

故当时，的最大值为，（14分）

另解：设（），由，

，可得，，

于是，

故当时，的最大值为。

由题意知：、，则

可解得：，即

因为，即，解不等式得到

因为，则所以，

当且仅当，即，时，等号成立.

所以，当时，的最小值为.

（1），

依题意则有：，即  解得

∴

令，解得或

当变化时，在区间上的变化情况如下表：

所以函数在区间上的最大值是4，最小值是0.

（2）由函数的定义域是正数知，，故极值点不在区间上；

①若极值点在区间，此时，在此区间上的最大值是4，不可能等于；故在区间上没有极值点；

②若在上单调增，即或，

则，即，解得不合要求；

③若在上单调减，即1<s<t<3，则，

两式相减并除得：，     ①

两式相除可得，即，整理并除以得：， ②

由①、②可得，即是方程的两根，

即存在，不合要求.

综上可得不存在满足条件的s、t.

（1）

，（注：也可以化为）

所以的最大值为。

（2）因为，由（1）和正弦定理，得。

又，所以，即，

而是三角形的内角，所以，故，，

所以，，。

（1）当时，，（2分）

由题意，得即解得，（4分）

（2）由（1），知（5分）

①当时，，由，得；由，得或，所以在和上单调递减，在上单调递增。

因为，，，所以在上的最大值为2。

②当时，，当时，；当时，在上单调递增，（7分）

所以在上的最大值为。

所以当时，在上的最大值为；

当时，在上的最大值为2.（8分）

（3）假设曲线上存在两点P，Q满足题意，则P，Q只能在轴两侧，

因为△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，所以，

不妨设，则由△POQ斜边的中点在轴上知，且 ，所以，（*）

是否存在两点P，Q满足题意等价于方程(*)是否有解。

若，则，代入方程(*)，得，

即，而此方程无实数解；

当时，则，代入方程(*)，得，即。（11分）

设，则在上恒成立，

所以在上单调递增，从而，即的值域为。

因为，所以的值域为，

所以当时，方程有解，即方程(*)有解。

所以对任意给定的正实数，曲线上总存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边的中点在轴上，（13分）