函数的最值及其几何意义
共151题

· 函数的最值及其几何意义

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题型：简答题

简答题 · 13 分

已知函数f（x）=（sin2x+cos2x）2﹣2sin22x。

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）若函数y=g（x）的图象是由y=f（x）的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，当x∈[0，]时，求y=g（x）的最大值和最小值。

正确答案

见解析。

解析

（1）因为f（x）=（sin2x+cos2x）2﹣2sin22x=sin4x+cos4x=，

所以函数f（x）的最小正周期为，

（2）依题意，y=g（x）=[]+1=，

因为，所以，

当，即时，g（x）取最大值；

当，即x=0时，g（x）取最小值0

知识点

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题型：简答题

简答题 · 10 分

已知函数，其中a＞0。

（1）若在x=1处取得极值，求a的值；

（2）若的最小值为1，求a的取值范围，

正确答案

见解析。

解析

（1）。

因在处取得极值，故，解得a=1 (经检验)，

（2），因，故ax+1＞0，1+x＞0。

当a≥2时，在区间上，递增，的最小值为f(0)=1。

当0<a<2时，由，解得；由，解得。

∴f(x)的单调减区间为，单调增区间为。

于是，f(x)在处取得最小值，不合。

综上可知，若f(x)得最小值为1，则a的取值范围是

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函数的最值及其几何意义

题型：简答题

简答题 · 13 分

已知函数（其中>0），且函数的最小正周期

为.

（1）求的值；

（2）求函数在区间上的最大值和最小值。

正确答案

见解析。

解析

（1）因为

因为函数的最小正周期为，所以

所以

（2）由（1）知，函数

当时，，

所以当时，函数取得最小值

当时，函数取得最大值

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题型：单选题

单选题 · 5 分

已知,且,则的最小值为

正确答案

解析

知识点

函数的最值及其几何意义

题型：简答题

简答题 · 12 分

设函数

（1）若函数在x=1处与直线相切①求实数a，b的值；②求函数上的最大值。

（2）当b=0时，若不等式对所有的都成立，求实数m的取值范围。

正确答案

见解析。

解析

（1）①

∵函数在处与直线相切解得 3分

②当时，令得；５分

令，得　上单调递增，在[1，e]上单调递减，

7分

（2）当b=0时，若不等式对所有的都成立，则对所有的都成立，

即对所有的都成立， 8分

令为一次函数，。

上单调递增，，

对所有的都成立 11分

12分

（注：也可令所有的都成立，分类讨论得对所有的都成立，，请根据过程酌情给分）

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