- 函数的最值及其几何意义
- 共151题
请你谈一谈对“不同生产方式以及生产工艺中,生产物流管理所采用的方法和手段是不同的。”这句话的理解。
正确答案
测试
已知函数f(x)=x2-2(a+2)x+a2,g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8.设H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)}(max{p,q}表示p,q中的较大值,min{p,q}表示p,q中的较小值),记H1(x)的最小值为A,H2(x)的最大值为B,则A-B=( )。
正确答案
解析
∵f(x)-g(x)=2x2-4ax+2a2-8
=2[x-(a-2)][x-(a+2)],
∴
可求得H1(x)的最小值A=f(a+2)=-4a-4,H2(x)的最大值B=g(a-2)=-4a+12,
∴A-B=-16.故选B
知识点
如图,建立平面直角坐标系,
轴在地平面上,
轴垂直于地平面,单位长度为1千米,某炮位于坐标原点,已知炮弹发射后的轨迹在方程
表示的曲线上,其中
与发射方向有关,炮的射程是指炮弹落地点的横坐标。
(1)求炮的最大射程;
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由。
正确答案
见解析
解析
(1)在中,令
,得
。
由实际意义和题设条件知。
∴,当且仅当
时取等号。
∴炮的最大射程是10千米。
(2)∵,∴炮弹可以击中目标等价于存在
,使
成立,
即关于的方程
有正根。
由得
。
此时,(不考虑另一根)。
∴当不超过6千米时,炮弹可以击中目标。
知识点
已知函数,其中
.
(1)若对一切,
恒成立,求
的取值集合.
(2)在函数的图像上取定两点
,记直线
的斜率为
.问:是否存在
,使
成立?若存在,求
的取值范围;若不存在,请说明理由.
正确答案
见解析
解析
(1)若,则对一切
,
,这与题设矛盾,又
,
故.
而令
当时,
单调递减;当
时,
单调递增,故当
时,
取最小值
于是对一切恒成立,当且仅当
.①
令则
当时,
单调递增;当
时,
单调递减.
故当时,
取最大值
.因此,当且仅当
即
时,①式成立.
综上所述,的取值集合为
.
(2)由题意知,
令则
令,则
.
当时,
单调递减;当
时,
单调递增.
故当,
即
从而,
又
所以
因为函数在区间
上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在
,使
,
单调递增,故这样的
是唯一的,且
.故当且仅当
时,
.
综上所述,存在使
成立.且
的取值范围为
.
知识点
已知函数f(x)=m﹣|x﹣2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集为[﹣1,1]。
(1)求m的值;
(2)若a,b,c∈R,且,求证:a+2b+3c≥9。
正确答案
见解析
解析
(1)函数f(x)=m﹣|x﹣2|,m∈R,故 f(x+2)=m﹣|x|,由题意可得m﹣|x|≥0的解集为[﹣1,1],
即|x|≤m 的解集为[﹣1,1],故m=1。
(2)由a,b,c∈R,且=1,
∴a+2b+3c=(a+2b+3c)()
=1++
+
+1+
+
+
+1
=3++
+
+
+
+
≥3+6=9,当且仅当
=
=
=
=
=
=1时,等号成立。
所以a+2b+3c≥9
知识点
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