函数的最值及其几何意义
共151题

· 函数的最值及其几何意义

函数的最值及其几何意义
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题型：单选题

单选题 · 5 分

过双曲线右焦点作一条直线，当直线斜率为时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围为( )

正确答案

解析

识别条件：过双曲线

继续识别条件： =。

继续识别条件：右焦点作一条直线画图！

继续识别条件：当直线斜率为时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点

继续识别条件：当直线斜率为时，直线与双曲线右支有两个不同交点

一样，没啥说的，b/a<3 放在一起，就是2<b/a<3

看看问题吧确定一下方向：双曲线离心率的取值范围

离心率啊，离心率就是C/a，知道2<b/a<3，知道

弄出个a与c的关系代入

知识点

函数的最值及其几何意义

题型：填空题

填空题 · 5 分

定义[x]表示不超过x的最大整数,例如:[1.5]=1,[-1.5]=-2,若f(x)=sin(x-[x]),则下列结论中

①f(x)是奇是函数

②f(x)是周期函数 ,周期为2π

③f(x)的最小值为0 ,无最大值

④f(x)无最小值,最大值为sin1

正确的序号为

正确答案

③

解析

则,故①错。

故②错。

是单调递增的周函数，知,

故故③正确，易知④错。综上，正确序号为③。

知识点

命题的真假判断与应用函数单调性的判断与证明函数的最值及其几何意义函数奇偶性的判断

题型：填空题

填空题 · 5 分

设数列的前n项和为，已知数列是首项和公比都是3的等比数列，

则的通项公式______________。

正确答案

解析

识别条件：数列的前n项和为，啥数列还没说。

继续识别条件：数列，数列不是我们常见的an 而是前n项和构成的数列

继续识别条件：数列是首项和公比都是3的等比数列，首项是3，公比是3 ，Sn能写出来了。最后求an，只能依靠数列里面的万金油公式an=Sn-Sn-1(n大于等于2),分段形式公式了。别忘了，n=1! 需要单独验证，结果恰恰不满足所以，结果还是分段数列形式

an=S1 n=1

知识点

函数的最值及其几何意义

题型：填空题

填空题 · 5 分

如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥.已知一个正六棱锥的各个顶点都在半径为3的球面上，则该正六棱锥的体积的最大值为

正确答案

解析

设球心到底面距离为，则底面边长为，高为，
，其中，

，解得或（舍），

知识点

函数的最值及其几何意义

题型：简答题

简答题 · 12 分

中，角所对的边分别为，且

（1）求；

（2）若为边上靠近点的三等分点,求的长.

正确答案

见解析

解析

解析：

（1），

（2）解：

知识点

函数的最值及其几何意义

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知R,，，则M的最大值是　　　　。

正确答案

解析

略

知识点

函数的最值及其几何意义

题型：简答题

简答题 · 12 分

设∈R，函数 =（），其中e是自然对数的底数。

（1）判断f (x)在R上的单调性；

（2）当– 1 << 0时，求f (x)在[1，2]上的最小值。

正确答案

见解析

解析

（1）=。

因为，以下讨论函数g (x) = –a+ 2ax – a – 1值的情况。

当a = 0时，g (x) = –1 < 0，即，所以f (x)在R上是减函数。

当a > 0时，g (x) = 0的判别式Δ= 4– 4(+a) = –4a < 0，

所以g(x)<0，即，所以f(x)在R上是减函数。

当a < 0时，g (x) = 0有两个根，，并且<，

所以，在区间（）上，g (x) > 0，即，f (x)在此区间上是增函数，在区间（,）上，g (x) < 0，即，f (x)在此区间上是减函数，在区间（）上，g (x) > 0，即，f (x)在此区间上是增函数。

综上，当a≥0时，f (x)在R上是减函数；

当a < 0时，f (x)在（）上单调递增，在（,）上单调递减，在（）上单调递增。

（2）当 – 1 < a < 0时，，，

所以，在区间[1，2]上，函数f (x)单调递减，

所以，函数f (x)在区间[1，2]上的最小值为f (2) =。

知识点

函数的最值及其几何意义

题型：简答题

简答题 · 10 分

设函数

（1）求不等式的解集；

（2）若关于x的不等式在上无解，求实数的取值范围。

正确答案

见解析

解析

解析：（1），所以原不等式转化为所以原不等式的解集为

（2）只要

由（1）知解得或

知识点

函数的最值及其几何意义绝对值不等式的解法

题型：简答题

简答题 · 10 分

设函数

（1）解不等式；

（2）求函数的最小值。

正确答案

见解析。

解析

（1）

不等式等价于：

或或

解得：或

不等式的解集为或.

（2）根据函数的单调性可知函数的最小值在处取得，

此时.

知识点

函数的最值及其几何意义绝对值不等式的解法

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知函数，设为函数的两个零点。

（1）若，求函数的单调区间；

（2）若，求实数b的最大值；

（3）若，且，，求证：.

正确答案

见解析

解析

（1）∵是函数的两个零点，

∴，。…………………………………………………………2分

∴，，解得。

∴…………………………………………………………3分

（2）∵是函数的两个零点，∴。

∴是方程的两根。

∵，∴对一切恒成立。，，

∵，∴。

∴。……………………5分

由得，∴

∵，∴，∴。 ……………………………………6分

令，则由=0得a=2或a=0（舍去）

当时，，∴在（0，2）内是增函数；

当时，，∴在（2,3）内是减函数。

∴当时，有极大值为12，∴在上的最大值是12，

∴的最大值是 ………………………………………………………………8分

（3）证法一：∵是方程的两根，

∴， ……………………………………………………9分

∴ ………………10分

∵，∴，，

∴。………………………11分

∵，，∴。

∴

所以 ……………………………………12分

证法二：∵是方程的两根，

∴， ……………………………………………………9分

∵，，∴。

∴……………10分

∵，

∴

所以……………………………………………………12分

知识点

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