函数的最值及其几何意义
共151题

· 函数的最值及其几何意义

函数的最值及其几何意义
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题型：简答题

简答题 · 12 分

已知函数。

（1）求函数的单调区间；

（2）若，求在区间上的最大值；

（3）设函数，（），试讨论函数与图象交点的个数。

正确答案

见解析。

解析

（1）∵，其定义域为。（1分）

∴。（2分）

∵，∴当时，；当时，。

故函数的单调递增区间是；单调递减区间是。（4分）

（2）由（1）知，函数的单调递增区间是；单调递减区间是。

当时，在区间上单调递增，的最大值；

当时，在区间上单调递增，在上单调递减，则在处取得极大值，也即该函数在上的最大值，此时的最大值；

∴在区间上的最大值（8分）

（3）讨论函数与图象交点的个数，即讨论方程在上根的个数。

该方程为，即。

只需讨论方程在上根的个数，（9分）

令，。

因，，令，得，

当时,；当时,。 ∴，

当时,；当时,，但此时，且以轴为渐近线。

如图构造的图象，并作出函数的图象。

①当即时，方程无根，没有公共点；

②当即时，方程只有一个根，有一个公共点；

③当即时，方程有两个根，有两个公共点。（12分）

知识点

函数的最值及其几何意义

题型：单选题

单选题 · 5 分

设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如图（第8题图）所示，则下列结论中一定成立的是（）

A函数有极大值和极小值

B函数有极大值和极小值

C函数有极大值和极小值

D函数有极大值和极小值

正确答案

解析

因为函数的图像如图，，所以函数在区间所以函数有极大值和极小值。

知识点

函数的最值及其几何意义

题型：填空题

填空题 · 5 分

13．设，定义区间的长度为. 已知函数的定义域为，值域为，则区间的长度的最大值为_______，最小值的为_______.

正确答案

2；1

解析

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知识点

函数的最值及其几何意义

题型：简答题

简答题 · 13 分

20．函数是定义在上的偶函数，且对任意实数，都有成立，已知当时，。

（1）求时，函数的表达式；

（2）求时，函数的表达式；

（3）若函数的最大值为，在区间上，解关于的不等式。

正确答案

解析

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知识点

函数解析式的求解及常用方法函数的最值及其几何意义函数性质的综合应用其它不等式的解法

题型：单选题

单选题 · 5 分

7.若函数在上有最小值－5，（，为常数），则函数在上（）

A有最大值5

B有最小值5

C有最大值3

D有最大值9

正确答案

解析

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知识点

函数的最值及其几何意义函数奇偶性的性质

题型：填空题

填空题 · 5 分

10．函数的最小值为_________。

正确答案

解析

解法一：由绝对值的几何意义知，函数的几何意义是：数轴上表示实数的点到表示的点的距离与到表示的点的距离之和，显然，当时，取最小值，且；

解法二：去绝对值符号得

当时，；

当时，，故.

知识点

函数的最值及其几何意义

题型：单选题

单选题 · 5 分

5．已知0<a<b<l，则（）

正确答案

解析

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知识点

函数的最值及其几何意义

题型：简答题

简答题 · 12 分

18．某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP（即人均纯收入）在0．5千美元~8千美元的地区销售该公司饮料的情况的调查中发现：人均GDP处在中等的地区对该饮料的销售量最多，然后向两边递减。

（1）下列几个模拟函数中表示人均GDP，单位：千美元，表示年人均饮料的销量，单位：升），用哪个模拟函数来描述人均饮料销量与地区的人均关系更合适？说明理由。

① ②

③，④。

（2）若人均GDP为1千美元时，年人均饮料的销量为2升；若人均GDP为4千美元时，年人均饮料的销量为5升，把（1）中你所选的模拟函数求出来，并求出各个地区中，年人均饮料的销量最多是多少？

（3）因为饮料在国被检测出杀虫剂的含量超标，受此事件的影响，饮料在人均GDP低于3千美元和高于6千美元的地区销量下降5%，其它地区的销量下降10%，根据（2）所求出的模拟函数，求出各个地区中，年人均饮料的销量最多是多少？

正确答案

解析

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知识点

函数的最值及其几何意义函数模型的选择与应用

题型：填空题

填空题 · 5 分

14．已知且，则的最大值和最小值分别是________，_________.

正确答案

；

解析

知识点

函数的最值及其几何意义对数的运算性质

题型：简答题

简答题 · 10 分

22.请在第22、23、24三题中任选一题作答。

22.选修4-1：几何证明选讲

如图，D，E分别为的边AB，AC上的点，且不与的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程的两个根．

（I）证明：C，B，D，E四点共圆；

（II）若，且求C，B，D，E所在圆的半径．

23.选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数），M为上的动点，P点满足，点P的轨迹为曲线．

（I）求的方程；

（II）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为A，与的异于极点的交点为B，求|AB|.

24.已知，且，求的最小值及取得最小值时的值

正确答案

解析

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