函数的最值及其几何意义
共151题

· 函数的最值及其几何意义

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题型：填空题

填空题 · 5 分

如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥.已知一个正六棱锥的各个顶点都在半径为3的球面上，则该正六棱锥的体积的最大值为

正确答案

解析

设球心到底面距离为，则底面边长为，高为，
，其中，

，解得或（舍），

知识点

函数的最值及其几何意义

题型：简答题

简答题 · 12 分

中，角所对的边分别为，且

（1）求；

（2）若为边上靠近点的三等分点,求的长.

正确答案

见解析

解析

解析：

（1），

（2）解：

知识点

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题型：填空题

填空题 · 5 分

已知R,，，则M的最大值是　　　　。

正确答案

解析

略

知识点

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题型：简答题

简答题 · 12 分

设∈R，函数 =（），其中e是自然对数的底数。

（1）判断f (x)在R上的单调性；

（2）当– 1 << 0时，求f (x)在[1，2]上的最小值。

正确答案

见解析

解析

（1）=。

因为，以下讨论函数g (x) = –a+ 2ax – a – 1值的情况。

当a = 0时，g (x) = –1 < 0，即，所以f (x)在R上是减函数。

当a > 0时，g (x) = 0的判别式Δ= 4– 4(+a) = –4a < 0，

所以g(x)<0，即，所以f(x)在R上是减函数。

当a < 0时，g (x) = 0有两个根，，并且<，

所以，在区间（）上，g (x) > 0，即，f (x)在此区间上是增函数，在区间（,）上，g (x) < 0，即，f (x)在此区间上是减函数，在区间（）上，g (x) > 0，即，f (x)在此区间上是增函数。

综上，当a≥0时，f (x)在R上是减函数；

当a < 0时，f (x)在（）上单调递增，在（,）上单调递减，在（）上单调递增。

（2）当 – 1 < a < 0时，，，

所以，在区间[1，2]上，函数f (x)单调递减，

所以，函数f (x)在区间[1，2]上的最小值为f (2) =。

知识点

函数的最值及其几何意义

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知函数，设为函数的两个零点。

（1）若，求函数的单调区间；

（2）若，求实数b的最大值；

（3）若，且，，求证：.

正确答案

见解析

解析

（1）∵是函数的两个零点，

∴，。…………………………………………………………2分

∴，，解得。

∴…………………………………………………………3分

（2）∵是函数的两个零点，∴。

∴是方程的两根。

∵，∴对一切恒成立。，，

∵，∴。

∴。……………………5分

由得，∴

∵，∴，∴。 ……………………………………6分

令，则由=0得a=2或a=0（舍去）

当时，，∴在（0，2）内是增函数；

当时，，∴在（2,3）内是减函数。

∴当时，有极大值为12，∴在上的最大值是12，

∴的最大值是 ………………………………………………………………8分

（3）证法一：∵是方程的两根，

∴， ……………………………………………………9分

∴ ………………10分

∵，∴，，

∴。………………………11分

∵，，∴。

∴

所以 ……………………………………12分

证法二：∵是方程的两根，

∴， ……………………………………………………9分

∵，，∴。

∴……………10分

∵，

∴

所以……………………………………………………12分

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