- 圆锥曲线中的范围、最值问题
- 共78题
已知椭圆C:的离心率为
,双曲线x²-y²=1的渐近线与椭圆有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆c的方程为
正确答案
解析
双曲线x²-y²=1的渐近线方程为,代入
可得
,则
,又由
可得
,则
,
于是。椭圆方程为
,答案应选D。
知识点
如图,已知平面内一动点到两个定点
、
的距离之和为
,线段
的长为
(1)求动点的轨迹
;
(2)当时,过点
作直线
与轨迹
交于
、
两点,且点
在线段
的上方,线段
的垂直平分线为
①求的面积的最大值;
②轨迹上是否存在除
、
以外的两点
、
关于直线
对称,请说明理由。
正确答案
见解析
解析
(1)当即
时,轨迹是以
、
为焦点的椭圆
当时,轨迹是线段
当时,轨迹不存在
(2)以线段的中点为坐标原点,以
所在直线为
轴建立平面直角坐标系,
可得轨迹的方程为
①解法1:设表示点
到线段
的距离
,
要使的面积有最大值,只要
有最大值
当点与椭圆的上顶点重合时,
的最大值为
解法2:在椭圆中,设
,记
点
在椭圆上,
由椭圆的定义得:
在中,由余弦定理得:
配方,得:
从而
得
根据椭圆的对称性,当最大时,
最大
当点与椭圆的上顶点重合时,
最大值为
②结论:当时,显然存在除
、
外的两点
、
关于直线
对称
下证当与
不垂直时,不存在除
、
外的两点
、
关于直线
对称
证法1:假设存在这样的两个不同的点
设线段的中点为
直线
由于在
上,故
①
又在椭圆上,所以有
两式相减,得
将该式写为,
并将直线的斜率
和线段
的中点,表示代入该表达式中,
得 ②
①、②得,由(1)
代入
得
即的中点为点
,而这是不可能的.
此时不存在满足题设条件的点和
.
证法2:假设存在这样的两个不同的点
,
则,故直线
经过原点。
直线的斜率为
,则假设不成立,
故此时椭圆上不存在两点(除了点、点
外)关于直线
对称
知识点
如图,椭圆的左焦点为
,过点
的直线交椭圆于
,
两点,当直线
经过椭圆的一个顶点时,其倾斜角恰为
。
(1)求该椭圆的离心率;
(2)设线段的中点为
,
的中垂线与
轴和
轴分别交于
两点,记△
的面积为
,△
(
为原点)的面积为
,求
的取值范围。
正确答案
(1)
(2)
解析
(1)解:依题意,当直线经过椭圆的顶点
时,其倾斜角为
。 ………………1分
设 ,
则 。 ………………2分
将 代入
,
解得 。 ………………3分
所以椭圆的离心率为 。 ………………4分
(2)解:由(1),椭圆的方程可设为。 ………………5分
设,
。
依题意,直线不能与
轴垂直,故设直线
的方程为
,将其代入
,整理得
。 ………………7分
则 ,
,
。
………………8分
因为 ,
所以 ,
。 ………………9分
因为 △∽△
,
所以 ………………11分
。 ………………13分
所以的取值范围是
。 ………………14分
知识点
已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )
正确答案
解析
抛物线y2=12x的焦点坐标为(3,0)
∵双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合
∴4+b2=9
∴b2=5
∴双曲线的一条渐近线方程为,即
∴双曲线的焦点到其渐近线的距离等于
知识点
设为平面直角坐标系
中的点集,从
中的任意一点
作
轴、
轴的垂线,垂足分别为
,
,记点
的横坐标的最大值与最小值之差为
,点
的纵坐标的最大值与最小值之差为
.
若是边长为1的正方形,给出下列三个结论:
1 的最大值为
;
2 的取值范围是
;
3 恒等于0.
其中所有正确结论的序号是( )
正确答案
解析
略
知识点
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