- 圆锥曲线中的范围、最值问题
- 共78题
已知椭圆的一个顶点为,焦点在轴上,中心在原点,若右焦点到直线的距离为3。
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设直线与椭圆相交于不同的两点,当时,求的取值范围。
正确答案
见解析。
解析
(1)依题意可设椭圆方程为 ,则右焦点,
由题设,解得,
故所求椭圆的方程为。
设,P为弦MN的中点,
由 得 ,
直线与椭圆相交,
,①
,从而,
,又,则:
,即 , ②
把②代入①得 ,解得 ,
由②得,解得。
综上求得的取值范围是。
知识点
已知定点,直线,点为坐标平面上的动点,过点作直线的垂线,垂足为点,且,设动点的轨迹为曲线。
(1)求曲线的方程;
(2)过点的直线与曲线有两个不同的交点、,求证:;
(3)记与的夹角为(为坐标原点,、为(2)中的两点),求的取值范围。
正确答案
见解析
解析
(1)设点的坐标为。 (1分)
由题意,可得,,,,(3分)
由与垂直,得,即()。 (6分)
因此,所求曲线的方程为()。
(2)因为过点的直线与曲线有两个不同的交点、,所以的斜率不为零,故设直线的方程为。 (7分)
于是、的坐标、为方程组的实数解。
消并整理得, (8分)
于是进一步得 (10分)
又因为曲线()的准线为,
所以,得证。 (12分)
(3)由(2)可知,,。
于是,
(16分)可求得的取值范围为。 (18分)
知识点
在平面直角坐标系中,为坐标原点,已知曲线上任意一点(其中)到定点的距离比它到轴的距离大1.
(1)求曲线的轨迹方程;
(2)若过点的直线与曲线相交于不同的两点,求的值;
(3)若曲线上不同的两点、满足求的取值范围。
正确答案
见解析
解析
(1)依题意知,动点到定点的距离等于到直线的距离,曲线是
以原点为顶点,为焦点的抛物线………(2分)
∵
∴
∴ 曲线方程是 ………(4分)
(2)当平行于轴时,其方程为,由解得、
此时 ………(6分)
当不平行于轴时,设其斜率为,
则由 得
设则有, ………(8分)
∴
………(10分)
(3)设
∴ ………(12分)
∵
∴
∵,化简得
∴ ………(14分)
当且仅当 时等号成立
∵
∴当的取值范围是………(16分)
知识点
已知平面内一动点到椭圆的右焦点的距离与到直线的距离相等。
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)过点()作倾斜角为的直线与曲线相交于,两点,若点始终在以线段为直径的圆内,求实数的取值范围;
(3)过点()作直线与曲线相交于,两点,问:是否存在一条垂直于轴的直线与以线段为直径的圆始终相切?若存在,求出所有的值;若不存在,请说明理由﹒
正确答案
见解析
解析
(1)易知椭圆的右焦点坐标为。
由抛物线的定义,知P点的轨迹是以为焦点,直线为准线的抛物线。
所以,动点P的轨迹C的方程为。 ……………………………………4分
(2)由题意知,直线AB的方程为。
代入,得。
设,则。
因为点始终在以线段为直径的圆内,
为钝角。
又,,
,。
即,
。
因此,
。
综上,实数的取值范围是。
(3)设过点的直线方程为,代入,得
,设,则,。
于是。
的中点坐标为
又
。
设存在直线满足条件,则。
化简,得。
所以,对任意的恒成立,
所以
解得,。
所以,当时,存在直线与以线段为直径的圆始终相切,…………13分
知识点
已知椭圆的左、右焦点分别为,若以为圆心,为半径作圆,过椭圆上一点作此圆的切线,切点为,且的最小值不小于。
(1)证明:椭圆上的点到的最短距离为;
(2)求椭圆的离心率的取值范围;
(3)设椭圆的短半轴长为,圆与轴的右交点为,过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点,若,求直线被圆截得的弦长的最大值。
正确答案
见解析
解析
解析:
(1)设椭圆上任一点的坐标为,点到右准线的距离为,则由椭圆的第二定义知:,,又,当时,
(4分)
(2)依题意设切线长
∴当且仅当取得最小值时取得最小值,
,
(6分)
从而解得,故离心率的取值范围是(8分)
(3)依题意点的坐标为,则直线的方程为, 联立方程组
得,设,则有,,代入直线方程得,
,又,,
(11分)
,直线的方程为,圆心到直线的距离,由图象可知,
,,,所以(14分)
知识点
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