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题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知椭圆的一个顶点为,焦点在轴上,中心在原点,若右焦点到直线的距离为3。

(1)求椭圆的标准方程;

(2)设直线与椭圆相交于不同的两点,当时,求的取值范围。

正确答案

见解析。

解析

(1)依题意可设椭圆方程为  ,则右焦点

由题设,解得

故所求椭圆的方程为

,P为弦MN的中点,

  得

直线与椭圆相交,

 ,①  

,从而

 ,又,则:

 ,即 ,   ②

把②代入①得  ,解得 , 

由②得,解得

综上求得的取值范围是。    

知识点

椭圆的定义及标准方程圆锥曲线中的范围、最值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
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题型:简答题
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简答题 · 18 分

已知定点,直线,点为坐标平面上的动点,过点作直线的垂线,垂足为点,且,设动点的轨迹为曲线

(1)求曲线的方程;

(2)过点的直线与曲线有两个不同的交点,求证:

(3)记的夹角为为坐标原点,为(2)中的两点),求的取值范围。

正确答案

见解析

解析

(1)设点的坐标为。                                    (1分)

由题意,可得,(3分)

垂直,得,即)。    (6分)

因此,所求曲线的方程为)。

(2)因为过点的直线与曲线有两个不同的交点,所以的斜率不为零,故设直线的方程为。                                (7分)

于是的坐标为方程组的实数解。

并整理得,                               (8分)

于是进一步得               (10分)

又因为曲线)的准线为

所以,得证。 (12分)

(3)由(2)可知,

于是

(16分)可求得的取值范围为。                    (18分)

知识点

向量在几何中的应用直接法求轨迹方程圆锥曲线中的范围、最值问题圆锥曲线的定点、定值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
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题型:简答题
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简答题 · 16 分

在平面直角坐标系中,为坐标原点,已知曲线上任意一点(其中)到定点的距离比它到轴的距离大1.

(1)求曲线的轨迹方程;

(2)若过点的直线与曲线相交于不同的两点,求的值;

(3)若曲线上不同的两点满足的取值范围。

正确答案

见解析

解析

(1)依题意知,动点到定点的距离等于到直线的距离,曲线

以原点为顶点,为焦点的抛物线………(2分)

∴ 曲线方程是      ………(4分)

(2)当平行于轴时,其方程为,由解得

此时   ………(6分)

不平行于轴时,设其斜率为

则由  得

则有  ………(8分)

   ………(10分)

(3)设

   ………(12分)

,化简得

  ………(14分)

当且仅当 时等号成立

∴当的取值范围是………(16分)

知识点

向量在几何中的应用直线与抛物线的位置关系直接法求轨迹方程圆锥曲线中的范围、最值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
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题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知平面内一动点到椭圆的右焦点的距离与到直线的距离相等。

(1)求动点的轨迹的方程;

(2)过点)作倾斜角为的直线与曲线相交于两点,若点始终在以线段为直径的圆内,求实数的取值范围;

(3)过点)作直线与曲线相交于两点,问:是否存在一条垂直于轴的直线与以线段为直径的圆始终相切?若存在,求出所有的值;若不存在,请说明理由﹒

正确答案

见解析

解析

(1)易知椭圆的右焦点坐标为

由抛物线的定义,知P点的轨迹是以为焦点,直线为准线的抛物线。

所以,动点P的轨迹C的方程为。  ……………………………………4分

(2)由题意知,直线AB的方程为

代入,得

,则

因为点始终在以线段为直径的圆内,

为钝角。

因此

综上,实数的取值范围是

(3)设过点的直线方程为,代入,得

,设,则

于是

的中点坐标为

设存在直线满足条件,则

化简,得

所以,对任意的恒成立,

所以

解得

所以,当时,存在直线与以线段为直径的圆始终相切,…………13分

知识点

直接法求轨迹方程圆锥曲线中的范围、最值问题圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
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题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知椭圆的左、右焦点分别为,若以为圆心,为半径作圆,过椭圆上一点作此圆的切线,切点为,且的最小值不小于

(1)证明:椭圆上的点到的最短距离为

(2)求椭圆的离心率的取值范围;

(3)设椭圆的短半轴长为,圆轴的右交点为,过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点,若,求直线被圆截得的弦长的最大值。

正确答案

见解析

解析

解析:

(1)设椭圆上任一点的坐标为点到右准线的距离为,则由椭圆的第二定义知:,又时,

(4分)

(2)依题意设切线长

∴当且仅当取得最小值时取得最小值,

(6分)

从而解得,故离心率的取值范围是(8分)

(3)依题意点的坐标为,则直线的方程为, 联立方程组

,设,则有,代入直线方程得

,又

(11分)

,直线的方程为,圆心到直线的距离,由图象可知

,所以(14分)

知识点

椭圆的几何性质圆锥曲线中的范围、最值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
下一知识点 : 圆锥曲线的定点、定值问题
百度题库 > 高考 > 理科数学 > 圆锥曲线中的范围、最值问题

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