圆锥曲线中的范围、最值问题
共78题

· 圆锥曲线中的范围、最值问题

圆锥曲线中的范围、最值问题
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题型：简答题

简答题 · 10 分

在极坐标系中, O为极点, 半径为2的圆C的圆心的极坐标为。

（1）求圆C的极坐标方程；

（2）是圆上一动点，点满足，以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，求点Q的轨迹的直角坐标方程。

正确答案

（1）（2）

解析

（1）设是圆上任一点，过作于点，则在△中，，而，，，所以，即为所求的圆的极坐标方程.　 ( 5分)

（2）设，由于，所以代入⑴中方程得，即，

∴，,

∴点的轨迹的直角坐标方程为. 　(10分)

知识点

圆锥曲线中的范围、最值问题

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知抛物线的焦点为，抛物线上一点的横坐标为，过点作抛物线的切线交轴于点，交轴于点，交直线于点，当时，。

（1）求证：为等腰三角形，并求抛物线的方程；

（2）若位于轴左侧的抛物线上，过点作抛物线的切线交直线于点，交直线于点，求面积的最小值，并求取到最小值时的值。

正确答案

见解析

解析

解析：（1）设，则切线的方程为，

所以，，，所以，

所以为等腰三角形，且为中点，所以，，，得，抛物线方程为 ……………… 4分

（2）设，则处的切线方程为

由，

同理，……………………………………………………6分

所以面积……① ……8分

设的方程为，则

由，得代入①得：

，使面积最小，则

得到…………② 令，

②得，，

所以当时单调递减；当单调递增，

所以当时，取到最小值为，此时，，

所以，即。……………………………………………………12分

知识点

抛物线的定义及应用直线与抛物线的位置关系圆锥曲线中的范围、最值问题

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知抛物线的极坐标方程为，若斜率为的直线经过抛物线的焦点，与圆相切，则。

正确答案

解析

将化为普通方程即，得

知识点

圆锥曲线中的范围、最值问题简单曲线的极坐标方程点的极坐标和直角坐标的互化

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知直线：与双曲线：有交点，则实数的取值范围是

A（-，-)∪(，+）

B（-,]

C[-,]∪[,]

D[-，]

正确答案

解析

略

知识点

直线与双曲线的位置关系圆锥曲线中的范围、最值问题

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知为椭圆的左右焦点，点为其上一点，且有

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过的直线与椭圆交于两点，过与平行的直线与椭圆交于两点，求四边形的面积的最大值。

正确答案

（1）（2）6

解析

解析：（1）设椭圆的标准方程为

由已知得， ……………………2分

又点在椭圆上，

椭圆的标准方程为 ……………………4分

（2）由题意可知，四边形为平行四边形 =4

设直线的方程为，且

由得

……………………6分

=+==

== …………………………8分

令，则 ==，……… 10分

又在上单调递增

的最大值为

所以的最大值为6. ………………………………12分

知识点

椭圆的定义及标准方程圆锥曲线中的范围、最值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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